홈 › 수학 › 미적분Ⅱ

2022년 3월 고3 학력평가 (미적분) 수학
기출문제·해설

2022년 3월 고3 학력평가 (미적분) 수학 전 문항(8문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 수열의 극한

📅 2022 · 22.3 고3 학평 미적분∑ 미적분Ⅱ📝 8문항 (객관식 6 · 서술형 2)

출제 단원

23번수열의 극한등비수열의 극한하

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+3^{n-1}}{(-2)^n+3^n}$의 값은?

① $\dfrac19$

② $\dfrac13$

③ $1$

④ $3$

⑤ $9$

정답 ② · 해설

Step 1. 분모의 최고 거듭제곱으로 나누기

분자와 분모를 $3^n$으로 나누면 $\dfrac{2\left(\frac23\right)^n+\frac13}{\left(-\frac23\right)^n+1}$이다.

Step 2. 극한 계산

$n\to\infty$일 때 $\left(\pm\dfrac23\right)^n\to0$이므로 값은 $\dfrac13$이다.

따라서 정답은 ②이다.

24번수열의 극한수열의 극한의 성질중

수열 $\{a_n\}$이 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3a_n-5n)=2$를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)a_n}{4n^2}$의 값은?

① $\dfrac16$

② $\dfrac13$

③ $\dfrac12$

④ $\dfrac23$

⑤ $\dfrac56$

정답 ⑤ · 해설

Step 1. $a_n$을 수렴하는 수열로 표현

$b_n=3a_n-5n$이라 하면 $b_n\to2$이고 $a_n=\dfrac{b_n+5n}{3}$이다.

Step 2. 극한 계산

$\dfrac{(2n+1)a_n}{4n^2}=\dfrac{\left(2+\frac1n\right)\left(\frac{b_n}{n}+5\right)}{12}\to\dfrac{2\times5}{12}=\dfrac56$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

회원가입만 하면 전 문항 · 해설 · 기출 변형문항까지 전부 무료