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2022년 7월 고3 학력평가 (미적분) 수학
기출문제·해설

2022년 7월 고3 학력평가 (미적분) 수학 전 문항(8문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 적분법 · 여러 가지 미분법 · 수열의 극한 · 급수

📅 2022 · 22.7 고3 학평 미적분∑ 미적분Ⅱ📝 8문항 (객관식 6 · 서술형 2)

출제 단원

23번수열의 극한∞−∞ 꼴 수열의 극한하

$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^4+5n^2+5}-n^2\right)$의 값은?

① $\frac{7}{4}$

② $2$

③ $\frac{9}{4}$

④ $\frac{5}{2}$

⑤ $\frac{11}{4}$

정답 ④ · 해설

Step 1. 분자 유리화하기

$\sqrt{n^4+5n^2+5}-n^2=\frac{5n^2+5}{\sqrt{n^4+5n^2+5}+n^2}$

Step 2. 극한 계산하기

분모, 분자를 $n^2$으로 나누면 $\frac{5+\frac{5}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{5}{n^2}+\frac{5}{n^4}}+1}\to\frac{5}{2}$

따라서 정답은 ④이다.

24번여러 가지 적분법치환적분법하

$\int_1^e\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)\ln x\,dx-\int_1^e\frac{2}{x^2}\ln x\,dx$의 값은?

① $\frac{1}{2}$

② $1$

③ $\frac{3}{2}$

④ $2$

⑤ $\frac{5}{2}$

정답 ③ · 해설

Step 1. 식 정리하기

두 정적분의 구간이 같으므로 합치면 $\int_1^e\frac{3\ln x}{x}dx$이다.

Step 2. 치환적분하기

$\ln x=t$로 놓으면 $\frac{1}{x}dx=dt$이고 $t$는 $0$에서 $1$까지 변하므로 $\int_0^1 3t\,dt=\frac{3}{2}$

따라서 정답은 ③이다.

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