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2022년 10월 고3 학력평가 (기하) 수학
기출문제·해설

2022년 10월 고3 학력평가 (기하) 수학 전 문항(8문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 공간좌표 · 이차곡선과 직선 · 벡터의 연산 · 공간도형

📅 2022 · 22.10 고3 학평 기하∑ 기하📝 8문항 (객관식 6 · 서술형 2)

출제 단원

23번공간좌표공간좌표와 중점하

좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(3,a,-2)$, $\mathrm{B}(-1,3,a)$에 대하여 선분 AB의 중점이 $xy$평면 위에 있을 때, $a$의 값은?

① 1

② $\frac{3}{2}$

③ 2

④ $\frac{5}{2}$

⑤ 3

정답 ③ · 해설

Step 1. 중점의 $z$좌표 구하기

중점의 $z$좌표는 $\frac{-2+a}{2}$이다.

Step 2. 조건 적용하기

$xy$평면 위에 있으므로 $\frac{-2+a}{2}=0$, $a=2$이다.

따라서 정답은 ③이다.

24번이차곡선과 직선타원의 접선하

타원 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$에 접하고 기울기가 $2$인 두 직선이 $y$축과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 선분 AB의 길이는?

① $8\sqrt{2}$

② 12

③ $10\sqrt{2}$

④ 15

⑤ $12\sqrt{2}$

정답 ⑤ · 해설

Step 1. 접선의 방정식 구하기

기울기가 $m$인 접선은 $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$이므로 $y=2x\pm\sqrt{64+8}=2x\pm6\sqrt{2}$이다.

Step 2. 길이 구하기

$\mathrm{A}(0,6\sqrt{2})$, $\mathrm{B}(0,-6\sqrt{2})$이므로 $\overline{AB}=12\sqrt{2}$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

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