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2024년 7월 고3 학력평가 (미적분) 수학
기출문제·해설

2024년 7월 고3 학력평가 (미적분) 수학 전 문항(8문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 함수의 미분 · 여러 가지 미분법 · 여러 가지 적분법 · 수열의 극한

📅 2024 · 24.7 고3 학평 미적분∑ 미적분Ⅱ📝 8문항 (객관식 6 · 서술형 2)

출제 단원

23번여러 가지 함수의 미분지수함수의 극한하

$\lim_{x\to0}\frac{5^{2x}-1}{e^{3x}-1}$의 값은?

① $\frac{\ln5}{3}$

② $\frac{1}{\ln5}$

③ $\frac{2}{3}\ln5$

④ $\frac{2}{\ln5}$

⑤ $\ln5$

정답 ③ · 해설

Step 1. 기본 극한 꼴로 변형

$\frac{5^{2x}-1}{e^{3x}-1}=\frac{5^{2x}-1}{2x}\times\frac{3x}{e^{3x}-1}\times\frac{2}{3}$

Step 2. 극한값

$\lim_{x\to0}\frac{5^{2x}-1}{2x}=\ln5$, $\lim_{x\to0}\frac{3x}{e^{3x}-1}=1$이므로 극한값은 $\frac{2}{3}\ln5$이다.

따라서 정답은 ③이다.

24번여러 가지 미분법매개변수로 나타낸 함수의 미분하

매개변수 $t\ (t>0)$으로 나타내어진 함수
$$x=3t-\frac{1}{t},\quad y=te^{t-1}$$
에서 $t=1$일 때, $\frac{dy}{dx}$의 값은?

① $\frac{1}{2}$

② $\frac{2}{3}$

③ $\frac{5}{6}$

④ 1

⑤ $\frac{7}{6}$

정답 ① · 해설

Step 1. 각각 $t$로 미분

$\frac{dx}{dt}=3+\frac{1}{t^2}$, $\frac{dy}{dt}=e^{t-1}+te^{t-1}$

Step 2. $t=1$ 대입

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

따라서 정답은 ①이다.

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