2019 중동고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설
중동고등학교 2019학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(21문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 부정적분과 정적분 · 정적분의 활용 · 미분계수와 도함수
📍 서울 강남구📅 2019 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 21문항 (객관식 14 · 서술형 7)
문제 미리보기 (2문항)
1번도함수의 활용접선의 방정식하
곡선 $y=x^3-x^2$ 위의 점 $(1,0)$에서의 접선이 점 $(-2,a)$를 지날 때, $a$의 값은?
① $-9$
② $-7$
③ $-5$
④ $-3$
⑤ $-1$
정답 ④ · 해설
Step 1. 접선의 기울기 구하기
$y'=3x^2-2x$이므로 $x=1$에서의 기울기는 $3-2=1$이다.
Step 2. 접선의 방정식 구하기
점 $(1,0)$을 지나고 기울기가 $1$이므로 접선은 $y=x-1$이다.
Step 3. $a$의 값 구하기
점 $(-2,a)$를 지나므로 $a=-2-1=-3$이다.
따라서 정답은 ④이다.
2번부정적분과 정적분부정적분과 정적분하
함수 $f(x)$를 적분해야 할 것을 잘못하여 미분하였더니 $12x^2-12x+4$가 되었다. $f(0)=2$일 때, $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,dx$의 값은?
① $-24$
② $-20$
③ $-16$
④ $-12$
⑤ $-8$
정답 ① · 해설
Step 1. $f(x)$ 구하기
$f'(x)=12x^2-12x+4$이므로 $f(x)=4x^3-6x^2+4x+C$이고, $f(0)=2$에서 $C=2$이다.
즉, $f(x)=4x^3-6x^2+4x+2$이다.
Step 2. 홀수차항 제거하기
구간 $[-2,2]$가 원점 대칭이므로 $4x^3$, $4x$의 정적분은 $0$이다.
Step 3. 정적분 계산하기
$\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=2\int_0^2(-6x^2+2)\,dx=2\Big[-2x^3+2x\Big]_0^2=2(-16+4)=-24$
따라서 정답은 ①이다.
문항 구성
| 1번 | 도함수의 활용 | 접선의 방정식 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 부정적분과 정적분 | 부정적분과 정적분 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 도함수의 활용 | 부등식에의 활용 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 부정적분과 정적분 | 정적분의 대소 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 도함수의 활용 | 방정식의 실근 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 미분계수와 도함수 | 곱의 미분법 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 부정적분과 정적분 | 정적분의 성질 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 도함수의 활용 | 접선의 개수 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 정적분의 활용 | 속도와 위치 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 정적분의 활용 | 두 점 사이의 거리 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 도함수의 활용 | 극값을 가질 조건 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 중 | 서술형 |
| 16번 | 도함수의 활용 | 최대·최소 | 중 | 서술형 |
| 17번 | 부정적분과 정적분 | 우함수·기함수 적분 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 부정적분과 정적분 | 정적분과 함수 결정 | 상 | 서술형 |
| 19번 | 정적분의 활용 | 곡선과 직선 사이 넓이 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 상 | 서술형 |