2021 숙명여고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
숙명여자고등학교 2021학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 나머지정리 · 여러 가지 방정식과 부등식 · 이차방정식과 이차함수 · 복소수와 이차방정식
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 22문항 (객관식 15 · 서술형 7)
문제 미리보기 (2문항)
1번다항식의 연산곱셈공식 변형하
$x=1+\sqrt{2},\ y=1-\sqrt{2}$일 때, $x^3-y^3$의 값은?
① $2\sqrt{2}$
② $4\sqrt{2}$
③ $6\sqrt{2}$
④ $8\sqrt{2}$
⑤ $10\sqrt{2}$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 합과 곱 구하기
$x-y=(1+\sqrt2)-(1-\sqrt2)=2\sqrt2$이다.
$xy=(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)=1-2=-1$이다.
Step 2. 곱셈 공식의 변형 세우기
$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=x^3-y^3-3xy(x-y)$이므로 $x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)$이다.
Step 3. 식의 값 구하기
$(2\sqrt2)^3=16\sqrt2$, $3xy(x-y)=3\times(-1)\times2\sqrt2=-6\sqrt2$이다.
$x^3-y^3=16\sqrt2-6\sqrt2=10\sqrt2$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번나머지정리인수정리하
다항식 $x^4+6x^3-13x^2-66x+72$의 인수가 아닌 것은?
① $x-1$
② $x-2$
③ $x-3$
④ $x+4$
⑤ $x+6$
정답 ② · 해설
Step 1. 인수정리 적용하기
$P(x)=x^4+6x^3-13x^2-66x+72$라 하면, 인수정리에 의해 $x-k$가 인수일 조건은 $P(k)=0$이다.
Step 2. 각 선택지 대입하기
$P(1)=1+6-13-66+72=0$, $P(3)=81+162-117-198+72=0$이다.
$P(-4)=256-384-208+264+72=0$, $P(-6)=1296-1296-468+396+72=0$이다.
Step 3. 인수가 아닌 것 확인하기
$P(2)=16+48-52-132+72=-48\ne0$이므로 $x-2$는 인수가 아니다.
실제로 $P(x)=(x-1)(x-3)(x+4)(x+6)$이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 변형 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 나머지정리 | 인수정리 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 복소수와 이차방정식 | 켤레복소수 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 나머지정리 | 항등식 미정계수 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 나머지정리 | 나눗셈 항등식 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 복소수와 이차방정식 | 켤레복소수 등식 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 이차방정식과 이차함수 | 그래프와 x축 | 하 | 객관식 |
| 8번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 나머지정리 | 나머지정리 고차 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | ω의 성질 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 나머지정리 | 항등식 계수비교 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 이차방정식과 이차함수 | 직선과 접할 조건 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 복소수와 이차방정식 | i의 거듭제곱 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 이차방정식과 이차함수 | 교점과 사다리꼴 넓이 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 이차방정식과 이차함수 | 구간 최대최소 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 나머지정리 | 계수의 합 | 중 | 서술형 |
| 17번 | 나머지정리 | 나머지 구하기 | 상 | 서술형 |
| 18번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 삼차방정식 풀이 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 근과 계수의 관계 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 치환 사차방정식 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 인수분해 | 수의 인수분해 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 허수단위 거듭제곱 | 상 | 서술형 |