2021 중동고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
중동고등학교 2021학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 원의 방정식 · 평면좌표 · 여러 가지 방정식과 부등식 · 직선의 방정식
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 17 · 서술형 3)
문제 미리보기 (2문항)
1번평면좌표선분 위의 점중
두 점 $A(-2,5)$, $B(2,1)$을 잇는 직선 $AB$ 위에 있고 $\overline{AB}=3\overline{BC}$를 만족시키는 모든 점 $C$의 $x$좌표의 합은?
① $\frac{10}{3}$
② $\frac{11}{3}$
③ $4$
④ $\frac{13}{3}$
⑤ $\frac{14}{3}$
정답 ③ · 해설
Step 1. 점 C의 위치 정하기
$\overline{BC}=\frac13\overline{AB}$이고 $C$는 직선 $AB$ 위에 있으므로 $C$는 $B$에서 $A$ 쪽으로 또는 그 반대쪽으로 $\frac13\overline{AB}$만큼 떨어진 점이다.
$C$가 선분 $AB$ 위에 있으면 $\overline{AC}:\overline{CB}=2:1$로 내분하는 점이고, $B$ 바깥쪽에 있으면 $\overline{AC}:\overline{CB}=4:1$로 외분하는 점이다.
Step 2. 두 점 C의 x좌표 구하기
내분점의 $x$좌표는 $\frac{2\times2+1\times(-2)}{2+1}=\frac23$이다.
외분점의 $x$좌표는 $\frac{4\times2-1\times(-2)}{4-1}=\frac{10}{3}$이다.
Step 3. x좌표의 합 구하기
$\frac23+\frac{10}{3}=4$이다.
따라서 정답은 ③이다.
2번여러 가지 방정식과 부등식이차부등식중
$x$에 대한 이차부등식 $f(x)>0$의 해가 $-1<x<5$일 때, 부등식 $f(1-2x)<0$의 해와 같은 해를 갖는 이차부등식은?
① $x^2+x-2<0$
② $x^2+x-2>0$
③ $x^2-x-2<0$
④ $x^2-x-2>0$
⑤ $x^2-x+2>0$
정답 ② · 해설
Step 1. f(x)를 식으로 나타내기
$f(x)>0$의 해가 $-1<x<5$이므로 $f(x)$는 위로 볼록하고 $-1$, $5$에서 $0$이다. 즉 $f(x)=-k(x+1)(x-5)$ $(k>0)$이다.
Step 2. f(1-2x) 계산하기
$x$ 대신 $1-2x$를 넣으면 $f(1-2x)=-k(2-2x)(-4-2x)=-k\times2(1-x)\times(-2)(x+2)=4k(1-x)(x+2)$이다.
Step 3. 부등식 풀기
$4k>0$이므로 $f(1-2x)<0$은 $(1-x)(x+2)<0$, 즉 $(x-1)(x+2)>0$이고 해는 $x<-2$ 또는 $x>1$이다.
이와 같은 해를 갖는 부등식은 $(x+2)(x-1)>0$, 즉 $x^2+x-2>0$이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 평면좌표 | 선분 위의 점 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 평면좌표 | 내분·외분 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립부등식 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 원의 방정식 | 원의 접선 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 원의 방정식 | 접선의 방정식 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 원의 방정식 | 축에 접하는 원 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 원의 방정식 | 원과 직선의 거리 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 원의 방정식 | 접하는 원 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 원의 방정식 | 원과 평행한 직선 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 직선의 방정식 | 수직이등분선 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 일차·이차부등식 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차부등식 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 평면좌표 | 거리의 최대최소 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 원의 방정식 | 원과 수직이등분선 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 직선의 방정식 | 삼각형 넓이와 거리 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 평면좌표 | 움직이는 점과 넓이 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 직선의 방정식 | 정점을 지나는 직선 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 범위 내 실근 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 평면좌표 | 내분점과 무게중심 | 상 | 서술형 |