2021 숙명여고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
숙명여자고등학교 2021학년도 2학기 기말고사 공통수학2 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 함수 · 유리함수와 무리함수 · 순열과 조합 · 합의 법칙과 곱의 법칙
📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 기말고사∑ 공통수학2📝 22문항 (객관식 15 · 서술형 7)
문제 미리보기 (2문항)
1번함수합성함수의 교환중
두 함수 $f(x)=3x+m,\ g(x)=2x+n$에 대하여 $f\circ g=g\circ f$가 성립한다. $m+n=6$일 때, $m$의 값을 구하면? (단, $m,\ n$은 상수)
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
정답 ④ · 해설
Step 1. 두 합성함수 구하기
$(f\circ g)(x)=f(2x+n)=3(2x+n)+m=6x+3n+m$이다.
$(g\circ f)(x)=g(3x+m)=2(3x+m)+n=6x+2m+n$이다.
Step 2. m, n의 관계식 세우기
$f\circ g=g\circ f$이므로 두 식의 상수항이 같아야 한다.
$3n+m=2m+n$에서 $m=2n$이다.
Step 3. m의 값 구하기
$m+n=6$에 $m=2n$을 대입하면 $3n=6$, $n=2$이다.
따라서 $m=4$이다.
따라서 정답은 ④이다.
2번함수역함수 그래프의 교점중
$f(x)=x^2-ax\ (x\ge a)$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점을 $P$라 할 때, 선분 $\overline{OP}=4\sqrt2$이다. 양수 $a$의 값을 구하면? (단, $O$는 원점이다.)
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
정답 ③ · 해설
Step 1. 교점이 놓인 직선 확인하기
$x\ge a$에서 $f(x)=x^2-ax$는 증가하는 함수이므로, $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점은 직선 $y=x$ 위에 있다.
Step 2. 교점 P의 좌표 구하기
$x^2-ax=x$에서 $x^2-(a+1)x=0$, $x(x-a-1)=0$이므로 $x=0$ 또는 $x=a+1$이다.
$a>0$이므로 $x=0$은 정의역 $x\ge a$에 속하지 않고, $x=a+1$만 가능하다. 즉 $P(a+1,\ a+1)$이다.
Step 3. a의 값 구하기
$\overline{OP}=\sqrt{(a+1)^2+(a+1)^2}=\sqrt2(a+1)$이다.
$\sqrt2(a+1)=4\sqrt2$에서 $a+1=4$, $a=3$이다.
따라서 정답은 ③이다.
문항 구성
| 1번 | 함수 | 합성함수의 교환 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 함수 | 역함수 그래프의 교점 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수 그래프 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수의 대칭 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 유리함수와 무리함수 | 무리함수 교점 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 유리함수와 무리함수 | 무리함수 그래프 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 함수 | 역함수의 값 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 유리함수와 무리함수 | 무리함수와 유리함수의 교점 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 함수 | 일대일대응 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 합의 법칙과 곱의 법칙 | 같은 것이 있는 순열 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 유리함수와 무리함수 | 무리함수 최대최소 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 함수 | 합성함수와 역함수 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 순열과 조합 | 완전순열 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 함수 | 합성함수와 역함수 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 함수 | 합성함수 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 함수 | 역함수 구하기 | 하 | 서술형 |
| 17번 | 함수 | 합성함수의 반복 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 순열과 조합 | 순열 방정식 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수와 직선의 교점 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 순열과 조합 | 직선의 개수 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 함수 | 일대일함수의 개수 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 합의 법칙과 곱의 법칙 | 직사각형의 개수 | 상 | 서술형 |