2021 중동고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
중동고등학교 2021학년도 2학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 함수 · 유리함수와 무리함수 · 순열과 조합 · 합의 법칙과 곱의 법칙
📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 17 · 서술형 3)
문제 미리보기 (2문항)
1번함수함수의 상등하
집합 $X=\{1,3\}$을 정의역으로 하는 두 함수 $f(x)=-2x+5$, $g(x)=ax^2+b$에 대하여 $f=g$일 때, $b-a$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.)
① 3
② 4
③ 5
④ 6
⑤ 7
정답 ② · 해설
Step 1. 함수가 같을 조건 세우기
정의역이 $X=\{1,3\}$이므로 $f=g$이려면 $f(1)=g(1)$, $f(3)=g(3)$이어야 한다.
$f(1)=3$, $f(3)=-1$이므로 $a+b=3$, $9a+b=-1$이다.
Step 2. a, b의 값 구하기
두 식을 빼면 $8a=-4$이므로 $a=-\frac12$이고, $b=3-a=\frac72$이다.
따라서 $b-a=\frac72+\frac12=4$이다.
따라서 정답은 ②이다.
2번함수역함수의 그래프상
함수 $f(x)=\begin{cases}ax+2 & (x\le 0)\\ \frac13x+2 & (x>0)\end{cases}$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이가 18일 때, 상수 $a$의 값은? (단, $a>1$)
① $\frac43$
② 2
③ $\frac83$
④ $\frac{10}{3}$
⑤ 4
정답 ① · 해설
Step 1. 넓이를 y=x 기준으로 바꾸기
$y=f(x)$와 역함수 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이므로, 구하는 넓이는 $y=f(x)$와 $y=x$로 둘러싸인 넓이의 $2$배이다.
$x>0$에서 $\frac13x+2=x$이면 $x=3$이고, $x\le0$에서 $ax+2=x$이면 $x=-\frac{2}{a-1}$이다.
Step 2. 두 삼각형의 넓이 구하기
$x\ge0$ 부분은 세 점 $(0,0)$, $(0,2)$, $(3,3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형이므로 넓이는 $\frac12\times2\times3=3$이다.
$x\le0$ 부분은 세 점 $(0,0)$, $(0,2)$, $\left(-\frac{2}{a-1},-\frac{2}{a-1}\right)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형이므로 넓이는 $\frac12\times2\times\frac{2}{a-1}=\frac{2}{a-1}$이다.
Step 3. a의 값 구하기
$2\left(3+\frac{2}{a-1}\right)=18$에서 $\frac{2}{a-1}=6$, $a-1=\frac13$이다.
즉 $a=\frac43$이고 $a>1$을 만족한다.
따라서 정답은 ①이다.
문항 구성
| 1번 | 함수 | 함수의 상등 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 함수 | 역함수의 그래프 | 상 | 객관식 |
| 3번 | 순열과 조합 | 조합의 수 성질 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 함수 | 일대일대응 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 합의 법칙과 곱의 법칙 | 토너먼트 대진표 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 함수 | 합성·역함수 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 함수 | 일대일함수 개수 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 함수 | 증가함수 개수 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 유리함수와 무리함수 | 무리함수 사분면 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 유리함수와 무리함수 | 유리·무리 합성 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수 그래프 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 집합 | 집합의 개수 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수 보기 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 순열과 조합 | 조건부 배열 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 함수 | 합성함수 방정식 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 함수 | 일대일대응 보기 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 유리함수와 무리함수 | 무리·유리 교점 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 순열과 조합 | 순열 조건 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수 넓이 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 유리함수와 무리함수 | 무리함수 일대일대응 | 상 | 서술형 |