2019 은광여고 1학년 1학기 기말고사 공통수학1
기출문제·해설
은광여자고등학교 2019학년도 1학기 기말고사 공통수학1 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 방정식과 부등식 · 평면좌표 · 이차방정식과 이차함수 · 직선의 방정식
📍 서울 강남구📅 2019 · 1학기 기말고사∑ 공통수학1📝 22문항 (객관식 17 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 방정식과 부등식ω의 성질중
방정식 $x^3-1=0$의 한 허근을 $\omega$라 할 때, $\left(\omega+\dfrac{1}{\omega}\right)+\left(\omega^2+\dfrac{1}{\omega^2}\right)+\left(\omega^3+\dfrac{1}{\omega^3}\right)+\cdots+\left(\omega^{500}+\dfrac{1}{\omega^{500}}\right)$의 값은?
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
정답 ① · 해설
Step 1. ω의 성질 정리하기
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$이므로 허근 $\omega$는 $\omega^2+\omega+1=0$, $\omega^3=1$을 만족한다.
Step 2. 각 항의 값 구하기
$k$가 $3$의 배수이면 $\omega^k=1$이므로 $\omega^k+\frac1{\omega^k}=2$이다.
$k$가 $3$의 배수가 아니면 $\omega^k$, $\frac1{\omega^k}$는 $\omega,\ \omega^2$를 하나씩 가지므로 $\omega^k+\frac1{\omega^k}=\omega+\omega^2=-1$이다. (예: $\frac1\omega=\frac{\omega^3}{\omega}=\omega^2$)
Step 3. 합 구하기
$1$부터 $500$까지 $3$의 배수는 $166$개, 나머지는 $500-166=334$개이다.
합은 $2\times166+(-1)\times334=332-334=-2$이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번여러 가지 방정식과 부등식켤레근과 삼차방정식중
삼차방정식 $x^3+ax^2+bx-3=0$의 한 근이 $\dfrac{1-i}{1+i}$일 때, 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값은?
① $-5$
② $-4$
③ $-3$
④ $-2$
⑤ $0$
정답 ④ · 해설
Step 1. 주어진 근 간단히 하기
분모의 켤레복소수를 곱하면 $\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{-2i}{2}=-i$이다.
계수가 실수이므로 켤레복소수 $i$도 근이다.
Step 2. 나머지 근 구하기
나머지 근을 $r$라 하면 근과 계수의 관계에서 세 근의 곱은 $-(-3)=3$이므로 $i\times(-i)\times r=r=3$이다.
Step 3. a, b 구하기
세 근의 합 $i+(-i)+3=3=-a$이므로 $a=-3$이다.
두 근씩 곱한 합 $i\times(-i)+3i+3\times(-i)=1=b$이므로 $a+b=-3+1=-2$이다.
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | ω의 성질 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 켤레근과 삼차방정식 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 모든 실수 x 부등식 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 삼각형 조건과 부등식 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수와 직선의 위치 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 이차부등식 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 나머지정리 | 인수분해된 꼴 이용 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 항상 성립 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 평면좌표 | 두 점 사이의 거리와 직각 | 하 | 객관식 |
| 11번 | 평면좌표 | 삼각형의 무게중심 | 하 | 객관식 |
| 12번 | 평면좌표 | 같은 거리의 점 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 평면좌표 | 내분점과 외분점 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 평면좌표 | 평행사변형 꼭짓점 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 평면좌표 | 각의 이등분선과 내분점 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 직선의 방정식 | 정점을 지나는 직선 | 중 | 객관식 |
| 17번 | 평면좌표 | 중선정리와 무게중심 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 합이 0인 방정식 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 대칭 연립이차방정식 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 이차방정식과 이차함수 | 두 근이 구간 안에 있을 조건 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 직선의 방정식 | 점과 직선 사이의 거리 최솟값 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 도형의 이동 | 접선과 삼각형 넓이 | 상 | 서술형 |