2019 중산고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2
기출문제·해설
중산고등학교 2019학년도 2학기 중간고사 공통수학2 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 집합 · 함수 · 명제 · 도형의 이동
📍 서울 강남구📅 2019 · 2학기 중간고사∑ 공통수학2📝 22문항 (객관식 18 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번도형의 이동원의 평행이동중
원 $x^2+y^2+4x-8y+11=0$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 원 $x^2+y^2-r^2=0$이 된다. 이때, 세 상수 $a, b, r$에 대하여 $a-b+r$의 값은? (단, $r>0$)
① 8
② 9
③ 10
④ 11
⑤ 12
정답 ② · 해설
Step 1. 원의 중심과 반지름 구하기
$x^2+4x+y^2-8y+11=0$을 완전제곱식으로 고치면 $(x+2)^2-4+(y-4)^2-16+11=0$이다.
즉 $(x+2)^2+(y-4)^2=9$이므로 중심은 $(-2,4)$, 반지름은 $3$이다.
Step 2. 평행이동 조건 세우기
원 $x^2+y^2=r^2$은 중심이 원점이고, 평행이동해도 반지름은 변하지 않으므로 $r=3$이다.
중심 $(-2,4)$가 $(-2+a,\ 4+b)=(0,0)$으로 옮겨지므로 $a=2,\ b=-4$이다.
Step 3. a-b+r의 값 구하기
$a-b+r=2-(-4)+3=9$이다.
따라서 정답은 ②이다.
2번직선의 방정식점과 직선 사이 거리중
점 $P(2,1)$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 $Q$라 하자. 두 점 $P, Q$에서 직선 $y=3x-3$까지의 거리를 각각 $p, q$라 할 때, 두 상수 $p, q$의 곱 $pq$의 값은?
① 2
② 3
③ 4
④ 5
⑤ 6
정답 ① · 해설
Step 1. 점 Q와 직선 정리하기
점 $(2,1)$을 $y$축에 대하여 대칭이동하면 $x$좌표의 부호만 바뀌므로 $Q(-2,1)$이다.
직선 $y=3x-3$을 일반형으로 쓰면 $3x-y-3=0$이다.
Step 2. 점과 직선 사이의 거리 구하기
점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 $p=\frac{|3\times2-1-3|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}$이다.
$q=\frac{|3\times(-2)-1-3|}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}$이다.
Step 3. pq의 값 구하기
$pq=\frac{2}{\sqrt{10}}\times\frac{10}{\sqrt{10}}=\frac{20}{10}=2$이다.
따라서 정답은 ①이다.
문항 구성
| 1번 | 도형의 이동 | 원의 평행이동 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 직선의 방정식 | 점과 직선 사이 거리 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 함수 | 합성함수의 값 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 집합 | 집합의 상등 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 집합 | 집합의 연산 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 집합 | 원소의 개수 | 하 | 객관식 |
| 7번 | 도형의 이동 | 직선의 대칭이동 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 함수 | 일대일대응 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 함수 | 함수의 상등 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 명제 | 대우와 진리집합 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 명제 | 대우를 이용한 증명 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 명제 | 참거짓 추론 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 집합 | 합집합의 원소의 개수 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 원의 방정식 | 원과 최단거리 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 합의 법칙과 곱의 법칙 | 조건 추론 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 집합 | 집합의 포함 관계 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 집합 | 집합 조건의 동치 | 중 | 객관식 |
| 18번 | 함수 | 다항식의 값 | 상 | 객관식 |
| 19번 | 함수 | 합성함수의 값 | 하 | 서술형 |
| 20번 | 명제 | 명제의 부정과 진리집합 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 명제 | 절대부등식 증명 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 도형의 이동 | 도형의 이동 종합 | 상 | 서술형 |