2020 개포고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
개포고등학교 2020학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 복소수와 이차방정식 · 여러 가지 방정식과 부등식 · 이차방정식과 이차함수 · 나머지정리
📍 서울 강남구📅 2020 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 23문항 (객관식 16 · 서술형 7)
문제 미리보기 (2문항)
1번다항식의 연산다항식 연산하
두 다항식 $A=2x^3-3x^2+5$, $B=x^3-2x^2+3x+1$에 대하여 $(A+3B)-(4B-2A)$를 간단히 하면?
① $3x^3-4x^2+5x+21$
② $5x^3-7x^2-3x+14$
③ $5x^3+7x^2+3x-14$
④ $7x^3-11x^2+3x+16$
⑤ $7x^3+11x^2-3x-16$
정답 ② · 해설
Step 1. 식을 A, B로 정리하기
괄호를 풀면 $(A+3B)-(4B-2A)=A+3B-4B+2A=3A-B$이다.
Step 2. 3A와 B 준비하기
$3A=3(2x^3-3x^2+5)=6x^3-9x^2+15$이다.
$B=x^3-2x^2+3x+1$이다.
Step 3. 3A-B 계산하기
동류항끼리 빼면 $3A-B=(6-1)x^3+(-9+2)x^2+(0-3)x+(15-1)=5x^3-7x^2-3x+14$이다.
따라서 정답은 ②이다.
2번복소수와 이차방정식이차방정식 작성중
두 학생 $A$, $B$가 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근을 구하였다. 학생 $A$는 일차항의 계수 $b$만을 잘못 보고 구한 두 근이 $2\pm\sqrt{3}$이고, 학생 $B$는 상수항 $c$만을 잘못 보고 구한 두 근이 $-1$, $3$이다. 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 옳은 근은? (단, $a$, $b$, $c$는 실수이다.)
① $x=-2\pm\sqrt7$
② $x=-1$
③ $x=1$
④ $x=2\pm\sqrt7$
⑤ $x=\pm1$
정답 ③ · 해설
Step 1. 바르게 본 계수 정리하기
$A$는 $b$만 잘못 보았으므로 $a,\ c$는 바르게 보았다. 따라서 $A$가 구한 두 근의 곱이 옳은 두 근의 곱이다.
$B$는 $c$만 잘못 보았으므로 $a,\ b$는 바르게 보았다. 따라서 $B$가 구한 두 근의 합이 옳은 두 근의 합이다.
Step 2. 두 근의 합과 곱 구하기
근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $\frac ca=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$이다.
두 근의 합은 $-\frac ba=-1+3=2$이다.
Step 3. 옳은 방정식 풀기
합이 $2$, 곱이 $1$이므로 옳은 방정식은 $x^2-2x+1=0$과 같다.
$(x-1)^2=0$이므로 $x=1$(중근)이다.
따라서 정답은 ③이다.
문항 구성
| 1번 | 다항식의 연산 | 다항식 연산 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 복소수와 이차방정식 | 이차방정식 작성 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 이차방정식과 이차함수 | 최대·최소 활용 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 나머지정리 | 나머지정리 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 복소수와 이차방정식 | 판별식 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 나머지정리 | 조립제법 항등식 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 인수분해 | 인수분해 활용 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 계산 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 이차방정식과 이차함수 | 최대·최소 활용 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 항상 성립 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 이차방정식과 이차함수 | 접선 조건 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 교점 추론 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 복소수와 이차방정식 | 켤레복소수 보기 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 나머지정리 | 다항식 보기 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 개념 | 하 | 서술형 |
| 18번 | 인수분해 | 인수분해 | 하 | 서술형 |
| 19번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 삼차방정식 ω | 중 | 서술형 |
| 20번 | 복소수와 이차방정식 | 켤레근 설명 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 삼차방정식 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 정수해 | 상 | 서술형 |
| 23번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 부등식 | 상 | 서술형 |