2023 개포고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
개포고등학교 2023학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 이차방정식과 이차함수 · 복소수와 이차방정식 · 나머지정리 · 여러 가지 방정식과 부등식
📍 서울 강남구📅 2023 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 22문항 (객관식 20 · 서술형 2)
문제 미리보기 (2문항)
1번나머지정리항등식하
등식 $(x-1)^2+a(x-1)+b=x^2+3x-2$가 $x$에 대한 항등식이 되게 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-2b$의 값은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
정답 ① · 해설
Step 1. 좌변 전개하기
$(x-1)^2+a(x-1)+b=x^2-2x+1+ax-a+b=x^2+(a-2)x+(1-a+b)$이다.
Step 2. 계수 비교하기
$x$에 대한 항등식이므로 $a-2=3$, $1-a+b=-2$이다. 따라서 $a=5$, $b=2$이다.
Step 3. a-2b의 값 구하기
$a-2b=5-4=1$이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번나머지정리인수정리중
일차식 $f(x)$에 대하여 다항식 $x^3-1+f(x)$가 $(x-1)(x+a)^2$으로 인수분해될 때, $f(-3)$의 값은? (단, $a$는 상수이다.)
① 2
② 3
③ 4
④ 5
⑤ 6
정답 ② · 해설
Step 1. f(x)를 식으로 나타내기
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$이므로 $f(x)=(x-1)(x+a)^2-(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)\{(x+a)^2-(x^2+x+1)\}$이다.
중괄호 안을 정리하면 $(2a-1)x+a^2-1$이다.
Step 2. a의 값 구하기
$f(x)$가 일차식이므로 $(x-1)$에 곱해진 식은 상수여야 한다. 따라서 $2a-1=0$, $a=\frac{1}{2}$이고 $a^2-1=-\frac{3}{4}$이다.
Step 3. f(-3)의 값 구하기
$f(x)=-\frac{3}{4}(x-1)$이므로 $f(-3)=-\frac{3}{4}\times(-4)=3$이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 나머지정리 | 항등식 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 나머지정리 | 인수정리 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 이차방정식과 이차함수 | 접하는 조건 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 복소수와 이차방정식 | 판별식 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 이차방정식과 이차함수 | 최대·최소 | 하 | 객관식 |
| 7번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 위치관계 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 나머지정리 | 나머지 구하기 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차방정식 활용 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 나머지정리 | 항등식 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 복소수와 이차방정식 | 허근의 성질 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 실수조건 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | ω의 성질 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 활용 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 이차방정식과 이차함수 | 접하는 조건 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 이차방정식과 이차함수 | 최대·최소 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 나머지정리 | 항등식 활용 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 복소수와 이차방정식 | 판별식 | 상 | 객관식 |
| 19번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 식의 값 | 상 | 객관식 |
| 20번 | 인수분해 | 고차식 인수분해 | 상 | 객관식 |
| 21번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | ω 활용 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 사차방정식 | 상 | 서술형 |