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2021 개포고 2학년 1학기 중간고사 대수
기출문제·해설

개포고등학교 2021학년도 1학기 중간고사 대수 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 지수와 로그 · 지수함수와 로그함수 · 삼각함수 · 사인법칙과 코사인법칙

📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 중간고사∑ 대수📝 23문항 (객관식 20 · 서술형 3)

출제 단원

1번지수와 로그거듭제곱근중

자연수 $n$에 대하여 $2n^2-11n+5$의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 하고, $2n^2-11n+5$의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 $g(n)$이라 하자. $f(n)\ge g(n)$을 만족시키는 모든 $n$의 값의 합은?

① 6

② 10

③ 15

④ 21

⑤ 28

정답 ③ · 해설

Step 1. $f(n)$의 값 구하기

실수의 세제곱근 중 실수인 것은 항상 1개이므로 $f(n)=1$이다.

Step 2. $g(n)\le 1$인 조건 구하기

네제곱근 중 실수인 것은 양수이면 2개, 0이면 1개, 음수이면 0개이므로 $f(n)\ge g(n)$이려면 $2n^2-11n+5\le 0$이어야 한다.

Step 3. 자연수 $n$ 구하기

$(2n-1)(n-5)\le 0$에서 $\frac{1}{2}\le n\le 5$이므로 $n=1,2,3,4,5$이고 합은 $15$이다.

따라서 정답은 ③이다.

2번지수와 로그거듭제곱근중

$\sqrt{\dfrac{n}{18}}$, $\sqrt[3]{\dfrac{2n}{3}}$이 모두 자연수가 되게 하는 자연수 $n$의 최솟값을 $2^a\times 3^b$ 꼴로 나타내었을 때, $a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 자연수이다.)

① 8

② 9

③ 10

④ 11

⑤ 12

정답 ② · 해설

Step 1. 조건을 지수로 나타내기

$n=2^a\times3^b$이면 $\frac{n}{18}=2^{a-1}3^{b-2}$은 제곱수, $\frac{2n}{3}=2^{a+1}3^{b-1}$은 세제곱수이어야 한다.

Step 2. $a$ 구하기

$a-1$은 짝수, $a+1$은 3의 배수이므로 가장 작은 $a$는 $5$이다.

Step 3. $b$ 구하기

$b-2$는 0 이상의 짝수, $b-1$은 3의 배수이므로 가장 작은 $b$는 $4$이다. 따라서 $a+b=9$이다.

따라서 정답은 ②이다.

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