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2020 은광여고 2학년 2학기 중간고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

은광여자고등학교 2020학년도 2학기 중간고사 미적분Ⅰ 전 문항(19문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 미분계수와 도함수 · 함수의 극한 · 함수의 연속 · 도함수의 활용

📍 서울 강남구📅 2020 · 2학기 중간고사∑ 미적분Ⅰ📝 19문항 (객관식 14 · 서술형 5)

출제 단원

1번함수의 극한미정계수 결정중

등식 $\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{\sqrt{x+a}-b}{x+1}=\frac{1}{4}$이 성립하도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값은?

① $5$

② $6$

③ $7$

④ $8$

⑤ $9$

정답 ③ · 해설

Step 1. 분자의 극한 조건 세우기

(분모)$\to0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\to0$, 즉 $\sqrt{a-1}=b$이다.

Step 2. 유리화하여 극한값 구하기

$\dfrac{\sqrt{x+a}-\sqrt{a-1}}{x+1}=\dfrac{(x+a)-(a-1)}{(x+1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{a-1})}=\dfrac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{a-1}}\to\dfrac{1}{2\sqrt{a-1}}$

Step 3. $a$, $b$ 구하기

$\dfrac{1}{2\sqrt{a-1}}=\dfrac{1}{4}$에서 $\sqrt{a-1}=2$, $a=5$, $b=2$이므로 $a+b=7$이다.

따라서 정답은 ③이다.

2번함수의 극한극한 대소관계중

함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $|f(x)-x|<1$을 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\{f(x)\}^2}{x^2-x+1}$의 값은?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

정답 ① · 해설

Step 1. 부등식 정리하기

$x-1<f(x)<x+1$이고 $x>1$이면 각 변을 $x$로 나누어 $1-\dfrac{1}{x}<\dfrac{f(x)}{x}<1+\dfrac{1}{x}$이다.

Step 2. $\dfrac{f(x)}{x}$의 극한 구하기

양 끝의 극한이 $1$이므로 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1$이다.

Step 3. 극한값 계산하기

$\dfrac{\{f(x)\}^2}{x^2-x+1}=\dfrac{\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2}{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\to1$

따라서 정답은 ①이다.

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