2021 개포고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
개포고등학교 2021학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 원의 방정식 · 평면좌표 · 여러 가지 방정식과 부등식 · 직선의 방정식
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 23문항 (객관식 16 · 서술형 7)
문제 미리보기 (2문항)
1번원의 방정식원의 접선중
원 $x^2+y^2=16$에 접하고 기울기가 $2$인 접선의 방정식을 $y=mx+n$이라 할 때, $m^2+n^2$의 값은?
① $9$
② $8\sqrt{5}$
③ $20$
④ $24$
⑤ $84$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 접선의 식 세우기
기울기가 $2$이므로 $m=2$이고 접선은 $y=2x+n$, 즉 $2x-y+n=0$이다.
Step 2. 접할 조건으로 n² 구하기
원이 직선에 접하면 중심 $(0,0)$에서 직선까지의 거리가 반지름 $4$와 같으므로 $\frac{|n|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=4$이다.
$|n|=4\sqrt5$이므로 $n^2=16\times5=80$이다.
Step 3. m²+n²의 값 구하기
$m^2+n^2=4+80=84$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번평면좌표외분점하
북두칠성은 큰곰자리에서 국자 모양을 이루는 $7$개의 별이다. 그림과 같이 북두칠성을 좌표평면 위에 점으로 나타낼 때, 두 점 $A(5,4)$, $B(6,5)$에 대하여 북극성은 선분 $AB$를 $5:6$으로 외분하는 점에 위치한다. 북극성의 위치를 나타내는 점의 좌표는?
① $(-2,0)$
② $(-1,0)$
③ $(0,-2)$
④ $(0,-1)$
⑤ $(0,1)$
정답 ④ · 해설
Step 1. 외분점 공식 확인하기
두 점 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$를 $m:n$으로 외분하는 점은 $\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n},\ \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)$이다.
Step 2. x좌표 구하기
$m=5$, $n=6$이므로 $x=\frac{5\times6-6\times5}{5-6}=\frac{0}{-1}=0$이다.
Step 3. y좌표 구하기
$y=\frac{5\times5-6\times4}{5-6}=\frac{1}{-1}=-1$이므로 북극성의 위치는 $(0,-1)$이다.
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 원의 방정식 | 원의 접선 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 평면좌표 | 외분점 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 평면좌표 | 각의 이등분선 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 평면좌표 | 두 점 사이 거리 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 평면좌표 | 무게중심 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 직선의 방정식 | 직선의 방정식 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 원의 방정식 | 접하는 원 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 허근의 개수 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 원의 방정식 | 활꼴의 넓이 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 원의 방정식 | 원과 직선의 위치 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차부등식 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 원의 방정식 | 원과 정사영 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 도형의 이동 | 접기와 대칭이동 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 원의 방정식 | 삼각형과 원 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 직선의 방정식 | 넓이를 이등분하는 직선 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 평면좌표 | 내분점과 외분점 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 직선의 방정식 | 절편 조건 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 원의 방정식 | 원과 삼각형 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식의 정수해 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 원의 방정식 | 원 위의 점과 직선 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식의 항상 성립 | 중 | 서술형 |
| 23번 | 직선의 방정식 | 점과 직선 사이의 거리 | 중 | 서술형 |