2021 개포고 2학년 1학기 기말고사 대수
기출문제·해설
개포고등학교 2021학년도 1학기 기말고사 대수 전 문항(21문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 수열의 합 · 삼각함수의 그래프 · 수학적 귀납법 · 사인법칙과 코사인법칙
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 기말고사∑ 대수📝 21문항 (객관식 18 · 서술형 3)
문제 미리보기 (2문항)
1번삼각함수의 그래프삼각부등식중
$0\le\theta<2\pi$일 때, $x$에 대한 이차방정식
$$x^2-(\sqrt{5}\cos\theta)x+\sin\theta+1=0$$
이 실근을 갖지 않도록 하는 $\theta$의 값의 범위는 $\alpha<\theta<\beta$이다. $\alpha+\beta$의 값은?
① $\pi$
② $\frac{3}{2}\pi$
③ $2\pi$
④ $\frac{5}{2}\pi$
⑤ $3\pi$
정답 ① · 해설
Step 1. 판별식 세우기
실근을 갖지 않으려면 $D=5\cos^2\theta-4(\sin\theta+1)<0$이다. $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$를 대입하면 $-5\sin^2\theta-4\sin\theta+1<0$이다.
Step 2. $\sin\theta$의 범위 구하기
$5\sin^2\theta+4\sin\theta-1>0$, 즉 $(5\sin\theta-1)(\sin\theta+1)>0$이므로 $\sin\theta>\frac{1}{5}$ 또는 $\sin\theta<-1$이고, $\sin\theta\ge-1$이므로 $\sin\theta>\frac{1}{5}$이다.
Step 3. $\alpha+\beta$ 구하기
$\sin\alpha=\sin\beta=\frac{1}{5}$이고 두 각은 직선 $\theta=\frac{\pi}{2}$에 대하여 대칭이므로 $\alpha+\beta=\pi$이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번삼각함수의 그래프그래프와 계수중
다음은 함수 $f(x)=a\sin(bx+c)$의 그래프이다.
상수 $a$, $b$, $c$의 값이 차례대로 다음과 같을 때, 위 그래프를 그릴 수 없는 경우는?
① $a:3,\ b:2,\ c:-\frac{\pi}{2}$
② $a:3,\ b:-2,\ c:\frac{\pi}{2}$
③ $a:3,\ b:-2,\ c:-\frac{\pi}{2}$
④ $a:-3,\ b:2,\ c:\frac{\pi}{2}$
⑤ $a:-3,\ b:-2,\ c:\frac{\pi}{2}$
정답 ② · 해설
Step 1. 그래프에서 식 구하기
최댓값 3, 최솟값 $-3$, 주기 $\frac{3}{4}\pi-(-\frac{\pi}{4})=\pi$이고 $f(0)=-3$이므로 $f(x)=-3\cos2x$이다.
Step 2. 각 경우 정리하기
① $3\sin(2x-\frac{\pi}{2})=-3\cos2x$, ② $3\sin(-2x+\frac{\pi}{2})=3\cos2x$, ③ $3\sin(-2x-\frac{\pi}{2})=-3\cos2x$, ④ $-3\sin(2x+\frac{\pi}{2})=-3\cos2x$, ⑤ $-3\sin(-2x+\frac{\pi}{2})=-3\cos2x$
Step 3. 판단하기
②만 $f(0)=3$이 되어 그래프와 다르다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각부등식 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 삼각함수의 그래프 | 그래프와 계수 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 지수함수와 로그함수 | 지수·로그 대소 | 상 | 객관식 |
| 4번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각방정식 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 사인법칙과 코사인법칙 | 삼각형 모양 결정 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 사인법칙과 코사인법칙 | 코사인법칙 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 삼각함수 | 단위원과 삼각함수 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 삼각함수의 그래프 | 탄젠트 그래프 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 등차수열과 등비수열 | 등차수열의 합 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 등차수열과 등비수열 | 등비수열의 합 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 등차수열과 등비수열 | 등비수열과 집합 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 수열의 합 | Σ의 성질 | 하 | 객관식 |
| 13번 | 수열의 합 | 수열의 합 활용 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 수학적 귀납법 | 귀납적 정의 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 수학적 귀납법 | 귀납적 정의 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 수열의 합 | 규칙 찾기 | 중 | 객관식 |
| 17번 | 수학적 귀납법 | 귀납법 증명 | 중 | 객관식 |
| 18번 | 수열의 합 | Σ의 활용 | 중 | 객관식 |
| 19번 | 사인법칙과 코사인법칙 | 사인법칙과 넓이 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 수열의 합 | 부분분수 합 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 수학적 귀납법 | 귀납법 증명 | 상 | 서술형 |