2021 개포고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2
기출문제·해설
개포고등학교 2021학년도 2학기 중간고사 공통수학2 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 명제 · 함수 · 도형의 이동 · 집합
📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 중간고사∑ 공통수학2📝 23문항 (객관식 16 · 서술형 7)
문제 미리보기 (2문항)
1번함수함수의 뜻하
두 집합 $X=\{-1,0,1\}$, $Y=\{0,1,2,3\}$에 대하여 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수를 $f:X\to Y$라 할 때, 다음 <보기>중 $X$에서 $Y$로의 함수인 것의 개수는?
ㄱ. $f(x)=|x|+1$
ㄴ. $f(x)=1-x^2$
ㄷ. $f(x)=|x|-1$
ㄹ. $f(x)=x^2+1$
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 0
정답 ③ · 해설
Step 1. 함수가 될 조건 정리하기
$X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x)$의 값이 공역 $Y=\{0,1,2,3\}$에 속해야 $X$에서 $Y$로의 함수가 된다.
따라서 $x=-1,0,1$을 차례로 대입하여 함숫값이 모두 $Y$에 속하는지 확인한다.
Step 2. 각 식의 함숫값 확인하기
ㄱ. $f(-1)=2,\ f(0)=1,\ f(1)=2$로 모두 $Y$에 속하므로 함수이다.
ㄴ. $f(-1)=0,\ f(0)=1,\ f(1)=0$으로 모두 $Y$에 속하므로 함수이다.
ㄷ. $f(0)=0-1=-1$이고 $-1\notin Y$이므로 함수가 아니다.
ㄹ. $f(-1)=2,\ f(0)=1,\ f(1)=2$로 모두 $Y$에 속하므로 함수이다.
Step 3. 함수인 것의 개수 세기
함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 $3$개이다.
따라서 정답은 ③이다.
2번도형의 이동직선의 평행이동중
직선 $l:3x+4y-8=0$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $-2m$만큼 평행이동한 직선을 $l'$이라 하자. 직선 $l$과 직선 $l'$ 사이의 거리가 2일 때, 상수 $m$의 값은? (단, $m>0$)
① 2
② $\frac{8}{3}$
③ 3
④ $\frac{16}{5}$
⑤ $\frac{10}{3}$
정답 ① · 해설
Step 1. 평행이동한 직선 구하기
$x$축 방향으로 $m$, $y$축 방향으로 $-2m$만큼 평행이동하면 $x$ 대신 $x-m$, $y$ 대신 $y+2m$을 대입한다.
$l':3(x-m)+4(y+2m)-8=0$, 즉 $3x+4y-8+5m=0$이다.
Step 2. 평행한 두 직선 사이의 거리 구하기
$l$과 $l'$은 기울기가 같아 평행하므로 $l$ 위의 한 점 $(0,2)$와 $l'$ 사이의 거리를 구하면 된다.
거리는 $\frac{|0+8-8+5m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|5m|}{5}=m$ ($m>0$)이다.
Step 3. m의 값 구하기
거리가 $2$이므로 $m=2$이다.
따라서 정답은 ①이다.
문항 구성
| 1번 | 함수 | 함수의 뜻 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 도형의 이동 | 직선의 평행이동 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 명제 | 절대부등식 최대 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 함수 | 일대일대응 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 함수 | 함수의 상등 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 집합 | 집합의 연산 보기 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 명제 | 진리집합의 포함관계 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 함수 | 합성함수 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 집합 | 대칭차집합 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 명제 | 진리집합 자연수 개수 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 명제 | 충분조건 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 함수 | 합성함수의 거듭제곱 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 집합 | 나머지와 집합 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 도형의 이동 | 대칭이동 최단거리 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 도형의 이동 | 대칭이동 삼각형 넓이 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 집합 | 원소의 합 최대 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 도형의 이동 | 평행이동 반복 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 명제 | 참거짓 추리 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 명제 | 존재명제와 원 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 함수 | 함수의 정의 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 명제 | 귀류법 증명 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 도형의 이동 | 대칭이동과 외접원 | 상 | 서술형 |
| 23번 | 집합 | 약수의 집합 | 상 | 서술형 |