2021 개포고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설
개포고등학교 2021학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 부정적분과 정적분 · 정적분의 활용
📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 23문항 (객관식 20 · 서술형 3)
문제 미리보기 (2문항)
1번도함수의 활용그래프와 부등식중
두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프가 그림과 같고, $f'(b)=f'(d)=0$이다. 부등식 $f'(x)\{f(x)-g(x)\}<0$을 만족시키는 $x$의 범위로 옳은 것을 모두 고르면?
① $x<a$
② $a<x<b$
③ $b<x<c$
④ $c<x<d$
⑤ $d<x<e$
정답 ①, ③, ⑤ · 해설
Step 1. $f'(x)$의 부호 읽기
$f(x)$는 $x<b$에서 증가, $b<x<d$에서 감소, $x>d$에서 증가하므로 $f'(x)$는 $x<b$, $x>d$에서 양, $b<x<d$에서 음이다.
Step 2. $f(x)-g(x)$의 부호 읽기
두 그래프는 $x=a,c,e$에서 만나고 $f(x)-g(x)$는 $x<a$에서 음, $a<x<c$에서 양, $c<x<e$에서 음, $x>e$에서 양이다.
Step 3. 곱이 음인 구간 찾기
두 부호가 다른 구간은 $x<a$, $b<x<c$, $d<x<e$이다.
따라서 정답은 ①, ③, ⑤이다.
2번도함수의 활용절댓값 함수 극값상
사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)=4x^3-16x^2+12x$에 대하여 방정식 $f'(x)=0$이 서로 다른 세 실근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$를 갖고, 함수 $g(x)=|f(x)|$가 다음 조건을 만족시킨다. $g(2)$의 값은? (단, $\alpha<\beta<\gamma$이다.)
(가) 함수 $g(x)$는 $x=\alpha$, $\beta$, $\gamma$에서 $0$이 아닌 극값을 갖는다.
(나) 세 점 $A(\alpha,g(\alpha))$, $B(\beta,g(\beta))$, $C(\gamma,g(\gamma))$는 한 직선 위에 있다.
① $\frac{1}{3}$
② $\frac{2}{3}$
③ $1$
④ $\frac{4}{3}$
⑤ $\frac{5}{3}$
정답 ② · 해설
Step 1. 극값 구하기
$f'(x)=4x(x-1)(x-3)$이므로 $\alpha=0$, $\beta=1$, $\gamma=3$이고 $f(x)=x^4-\frac{16}{3}x^3+6x^2+C$이다. $f(0)=C$, $f(1)=C+\frac{5}{3}$, $f(3)=C-9$이다.
Step 2. 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 세우기
기울기 조건에서 $|C+\frac{5}{3}|-|C|=\frac{|C-9|-|C|}{3}$이다. $0<C<9$일 때 $\frac{5}{3}=\frac{9-2C}{3}$에서 $C=2$이고, 이때 $f(0)=2$, $f(1)=\frac{11}{3}$, $f(3)=-7$로 모두 $0$이 아니므로 조건을 만족시킨다. (다른 범위에서는 해가 조건에 맞지 않는다.)
Step 3. $g(2)$ 구하기
$f(2)=16-\frac{128}{3}+24+2=-\frac{2}{3}$이므로 $g(2)=\frac{2}{3}$이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 도함수의 활용 | 그래프와 부등식 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 도함수의 활용 | 절댓값 함수 극값 | 상 | 객관식 |
| 3번 | 도함수의 활용 | 사차함수 추론 | 상 | 객관식 |
| 4번 | 도함수의 활용 | 삼차함수 추론 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 도함수의 활용 | 넓이의 최대 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 도함수의 활용 | 삼차함수 추론 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 도함수의 활용 | 도함수 그래프 해석 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 도함수의 활용 | 부등식의 증명 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 도함수의 활용 | 속도와 방정식 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 도함수의 활용 | 속도와 거리 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 부정적분과 정적분 | 부정적분과 미분 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 부정적분과 정적분 | 정적분과 극값 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 부정적분과 정적분 | 도함수로 함수 결정 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 부정적분과 정적분 | 절댓값 정적분 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 부정적분과 정적분 | 기함수 정적분 | 중 | 객관식 |
| 17번 | 부정적분과 정적분 | 정적분과 대칭성 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 정적분의 활용 | 속도와 거리 | 중 | 객관식 |
| 19번 | 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수 | 상 | 객관식 |
| 20번 | 부정적분과 정적분 | 최댓값 함수 적분 | 중 | 객관식 |
| 21번 | 도함수의 활용 | 방정식 실근 개수 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 도함수의 활용 | 최댓값과 최솟값 | 상 | 서술형 |
| 23번 | 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수 | 상 | 서술형 |