2021 개포고 2학년 2학기 중간고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설
개포고등학교 2021학년도 2학기 중간고사 미적분Ⅰ 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용
📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 중간고사∑ 미적분Ⅰ📝 23문항 (객관식 20 · 서술형 3)
문제 미리보기 (2문항)
1번함수의 극한극한의 대소 관계중
함수 $f(x)$가 모든 양의 실수 $x$에 대하여
$\sqrt{16x^2+6x}<\sqrt{xf(x)}<4x+3$을 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$의 값은?
① 1
② 2
③ 4
④ 8
⑤ 16
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 부등식 정리하기
각 변이 양수이므로 제곱하면 $16x^2+6x<xf(x)<16x^2+24x+9$이다.
Step 2. 각 변을 $x^2$으로 나누기
$x>0$이므로 $16+\frac{6}{x}<\frac{f(x)}{x}<16+\frac{24}{x}+\frac{9}{x^2}$이다.
Step 3. 함수의 극한의 대소 관계 적용하기
$x\to\infty$일 때 양 끝 변이 모두 $16$에 수렴하므로 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=16$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번함수의 극한무리식의 극한중
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\right)=a$,
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^2-2}+5}{x+1}=b$라 할 때, 실수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값은?
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
정답 ④ · 해설
Step 1. $a$의 값 구하기
분자를 유리화하면 $\sqrt{x}(\sqrt{x-1}-\sqrt{x})=\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}=\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1}$이므로 $a=-\frac{1}{2}$이다.
Step 2. $b$의 값 구하기
$x=-t$로 놓으면 $t\to\infty$이고 $\frac{\sqrt{4t^2-2}+5}{-t+1}=\frac{\sqrt{4-\frac{2}{t^2}}+\frac{5}{t}}{-1+\frac{1}{t}}\to\frac{2}{-1}=-2$이므로 $b=-2$이다.
Step 3. $ab$ 계산하기
$ab=\left(-\frac{1}{2}\right)\times(-2)=1$
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 함수의 극한 | 극한의 대소 관계 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 함수의 극한 | 무리식의 극한 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 함수의 극한 | 극한의 성질 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 함수의 극한 | 그래프와 극한 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 함수의 극한 | 극한과 다항함수 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 함수의 극한 | 도형과 극한 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 함수의 연속 | 연속과 미정계수 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 함수의 연속 | 합성함수의 연속 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 함수의 연속 | 연속함수의 성질 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 함수의 연속 | 사잇값 정리 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 함수의 연속 | 곱함수의 연속 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 미분계수와 도함수 | 평균·순간변화율 | 하 | 객관식 |
| 13번 | 도함수의 활용 | 접선과 최솟값 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 도함수의 활용 | 접선의 기울기 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 미분계수와 도함수 | 미분계수의 정의 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성과 다항식 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성과 접선 | 상 | 객관식 |
| 19번 | 도함수의 활용 | 미분가능성과 평균값정리 | 중 | 객관식 |
| 20번 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 상 | 객관식 |
| 21번 | 함수의 극한 | 교점의 개수와 극한 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성 증명 | 중 | 서술형 |
| 23번 | 함수의 연속 | 실근의 개수와 연속 | 상 | 서술형 |