2021 은광여고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2
기출문제·해설
은광여자고등학교 2021학년도 2학기 중간고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 명제 · 원의 방정식 · 도형의 이동 · 집합
📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 중간고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 16 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번원의 방정식원의 접선하
원 $x^2+y^2=4$에 접하고, 직선 $x-y+4=0$에 수직인 직선의 방정식은?
① $y=-x\pm2\sqrt2$
② $y=-x\pm4\sqrt2$
③ $y=x\pm2\sqrt2$
④ $y=x\pm4$
⑤ $y=x\pm4\sqrt2$
정답 ① · 해설
Step 1. 구하는 직선의 기울기 구하기
직선 $x-y+4=0$은 $y=x+4$이므로 기울기가 $1$이다.
수직인 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$이므로 구하는 직선의 기울기는 $-1$이다.
Step 2. 접할 조건 세우기
구하는 직선을 $y=-x+k$, 즉 $x+y-k=0$이라 하자.
원 $x^2+y^2=4$에 접하려면 중심 $(0,0)$에서 직선까지의 거리가 반지름 $2$와 같아야 하므로 $\frac{|-k|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2$이다.
Step 3. k의 값 구하기
$|k|=2\sqrt2$이므로 $k=\pm2\sqrt2$이고, 구하는 직선은 $y=-x\pm2\sqrt2$이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번원의 방정식접선의 방정식중
원 $x^2+y^2=5$ 위의 점 $(-2,1)$에서의 접선이 원 $x^2+y^2-6x+8y-k=0$에 접할 때, 실수 $k$의 값은?
① 4
② 8
③ 12
④ 16
⑤ 20
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 접선의 방정식 구하기
원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선은 $x_1x+y_1y=r^2$이므로 점 $(-2,1)$에서의 접선은 $-2x+y=5$, 즉 $2x-y+5=0$이다.
Step 2. 두 번째 원의 중심과 반지름 구하기
$x^2-6x+9+y^2+8y+16=k+25$이므로 $(x-3)^2+(y+4)^2=25+k$이다.
중심은 $(3,-4)$, 반지름은 $\sqrt{25+k}$이다.
Step 3. 접할 조건으로 k 구하기
중심 $(3,-4)$에서 직선 $2x-y+5=0$까지의 거리는 $\frac{|6+4+5|}{\sqrt{4+1}}=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5$이다.
이 거리가 반지름과 같아야 하므로 $25+k=(3\sqrt5)^2=45$, $k=20$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 원의 방정식 | 원의 접선 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 원의 방정식 | 접선의 방정식 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 원의 방정식 | 원의 방정식 | 상 | 객관식 |
| 4번 | 원의 방정식 | 공통접선 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 도형의 이동 | 평행이동 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 도형의 이동 | 대칭이동 넓이 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 도형의 이동 | 대칭이동 최소 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 도형의 이동 | 대칭이동 반복 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 집합 | 집합의 합 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 집합 | 집합의 연산 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 명제 | 명제의 참거짓 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 명제 | 산술기하평균 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 명제 | 필요충분조건 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 명제 | 진리집합 관계 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 집합 | 원소의 개수 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 집합 | 원소의 합 최대 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 원의 방정식 | 원과 직선 넓이 | 상 | 서술형 |
| 18번 | 도형의 이동 | 원의 대칭이동 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 명제 | 증명·반례 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 명제 | 명제의 부정 | 중 | 서술형 |