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2022 중산고 2학년 2학기 중간고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

중산고등학교 2022학년도 2학기 중간고사 미적분Ⅰ 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 미분계수와 도함수 · 함수의 연속 · 함수의 극한 · 도함수의 활용

📍 서울 강남구📅 2022 · 2학기 중간고사∑ 미적분Ⅰ📝 22문항 (객관식 16 · 서술형 6)

출제 단원

1번미분계수와 도함수평균변화율하

함수 $f(x)=3x^2+2$에서 $x$의 값이 $0$에서 $1$까지 변할 때의 평균변화율은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

정답 ③ · 해설

Step 1. 함숫값 구하기

$f(0)=2$, $f(1)=3+2=5$이다.

Step 2. 평균변화율 계산하기

$\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{5-2}{1}=3$

따라서 정답은 ③이다.

2번함수의 극한극한 대소관계하

함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여
$$2x^2\le(3x^2+1)f(x)\le2x^2+3$$
을 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$의 값은?

① $\frac{5}{6}$

② $\frac{2}{3}$

③ $\frac{1}{2}$

④ $\frac{1}{3}$

⑤ $\frac{1}{6}$

정답 ② · 해설

Step 1. 부등식을 $f(x)$에 대해 정리하기

$3x^2+1>0$이므로 각 변을 나누면 $\dfrac{2x^2}{3x^2+1}\le f(x)\le\dfrac{2x^2+3}{3x^2+1}$이다.

Step 2. 양 끝의 극한 구하기

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2}{3x^2+1}=\frac{2}{3}$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{3x^2+1}=\frac{2}{3}$이다.

Step 3. 함수의 극한의 대소 관계 적용하기

따라서 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{2}{3}$이다.

따라서 정답은 ②이다.

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