2019 세종고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
서울세종고등학교 2019학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 원의 방정식 · 직선의 방정식 · 평면좌표 · 여러 가지 방정식과 부등식
📍 서울 강남구📅 2019 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 18 · 서술형 2)
문제 미리보기 (2문항)
1번직선의 방정식수직이등분선하
두 점 $A(-1,-2)$, $B(a,b)$를 이은 선분 $\overline{AB}$의 수직이등분선의 방정식은 $y=-x+1$이다. 이 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값은?
① 4
② 5
③ 6
④ 7
⑤ 8
정답 ③ · 해설
Step 1. 직선 AB의 기울기 조건 세우기
수직이등분선 $y=-x+1$의 기울기가 $-1$이고 직선 $\mathrm{AB}$는 이와 수직이므로 기울기가 $1$이다.
$\frac{b-(-2)}{a-(-1)}=1$에서 $b+2=a+1$, 즉 $b=a-1$이다.
Step 2. 중점 조건 세우기
선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\left(\frac{a-1}{2},\ \frac{b-2}{2}\right)$는 수직이등분선 위에 있으므로 $\frac{b-2}{2}=-\frac{a-1}{2}+1$이다.
양변에 $2$를 곱하면 $b-2=-a+1+2$, 즉 $a+b=5$이다.
Step 3. ab의 값 구하기
$b=a-1$을 $a+b=5$에 대입하면 $2a-1=5$이므로 $a=3,\ b=2$이다.
따라서 $ab=6$이다.
따라서 정답은 ③이다.
2번원의 방정식원의 접선하
원 $x^2+y^2-2x-4y+3=0$에 접하고 기울기가 $1$인 접선의 방정식을 $y=x+a$라고 할 때, 양수 $a$의 값은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
정답 ③ · 해설
Step 1. 원의 중심과 반지름 구하기
$x^2-2x+1+y^2-4y+4=-3+1+4$이므로 $(x-1)^2+(y-2)^2=2$이다.
중심은 $(1,\ 2)$, 반지름은 $\sqrt2$이다.
Step 2. 접할 조건 세우기
원과 직선이 접하면 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다.
직선 $x-y+a=0$과 $(1,\ 2)$ 사이의 거리는 $\frac{|1-2+a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt2}$이므로 $\frac{|a-1|}{\sqrt2}=\sqrt2$이다.
Step 3. 양수 a의 값 구하기
$|a-1|=2$에서 $a=3$ 또는 $a=-1$이고 $a>0$이므로 $a=3$이다.
따라서 정답은 ③이다.
문항 구성
| 1번 | 직선의 방정식 | 수직이등분선 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 원의 방정식 | 원의 접선 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 직선의 방정식 | 교점을 지나는 직선 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 원의 방정식 | 공통현 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 평면좌표 | 외분점 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 원의 방정식 | 원의 이등분 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 이차방정식과 이차함수 | 근의 위치 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 원의 방정식 | 원의 접선의 방정식 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 원의 방정식 | 지름과 현의 길이 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 평면좌표 | 각의 이등분선 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 도형의 이동 | 반사와 대칭이동 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 직선의 방정식 | 넓이를 이등분하는 직선 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 그래프와 부호 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 원의 방정식 | 접점을 지나는 직선 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 원의 방정식 | 중점의 자취 | 중 | 객관식 |
| 17번 | 도형의 이동 | 접기와 대칭이동 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 평면좌표 | 내분과 외분 | 중 | 객관식 |
| 19번 | 원의 방정식 | 중점의 자취 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 직선의 방정식 | 각의 이등분선 | 상 | 서술형 |