2019 풍문고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
풍문고등학교 2019학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 복소수와 이차방정식 · 이차방정식과 이차함수 · 나머지정리 · 인수분해
📍 서울 강남구📅 2019 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 22문항 (객관식 14 · 서술형 8)
문제 미리보기 (2문항)
1번인수분해인수분해 수의 계산하
자연수 $N=19^3-3\times19^2+4$를 소인수분해하여 나타낸 값으로 옳은 것은? (인수분해를 이용하시오.)
① $2\times5\times17$
② $2^2\times5\times17$
③ $2^2\times5^2\times17$
④ $2\times5^2\times17^2$
⑤ $2^2\times5\times17^2$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 문자로 치환하기
$19$를 문자 $a$로 놓으면 $N=a^3-3a^2+4$로 다항식처럼 다룰 수 있다.
Step 2. 인수정리로 인수분해하기
$a=-1$을 대입하면 $-1-3+4=0$이므로 인수정리에 의해 $a+1$을 인수로 가진다.
조립제법으로 나누면 $a^3-3a^2+4=(a+1)(a^2-4a+4)=(a+1)(a-2)^2$이다.
Step 3. 소인수분해 결과 구하기
$a=19$를 대입하면 $N=(19+1)(19-2)^2=20\times17^2$이다.
$20=2^2\times5$이므로 $N=2^2\times5\times17^2$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번복소수와 이차방정식음수의 제곱근하
다음 두 계산 과정에서 처음으로 잘못된 부분을 찾아 바르게 짝지은 것은?
(가) $\dfrac{i}{3}=\sqrt{-\dfrac19}=\sqrt{\dfrac{1}{-9}}\overset{㉠}{=}\dfrac{1}{\sqrt{-9}}\overset{㉡}{=}\dfrac{1}{3i}\overset{㉢}{=}\dfrac{-i}{-3i^2}=-\dfrac{i}{3}$
(나) $10=\sqrt{100}=\sqrt{20\times5}\overset{㉣}{=}\sqrt{(-20)\times(-5)}\overset{㉤}{=}\sqrt{-20}\times\sqrt{-5}\overset{㉥}{=}\sqrt{20}\,i\times\sqrt5\,i=\sqrt{100}\,i^2=-10$
① (가) ㉠, (나) ㉣
② (가) ㉠, (나) ㉤
③ (가) ㉡, (나) ㉣
④ (가) ㉢, (나) ㉤
⑤ (가) ㉢, (나) ㉥
정답 ② · 해설
Step 1. 음수의 제곱근 성질 정리하기
$a<0,\ b<0$일 때 $\sqrt a\sqrt b=-\sqrt{ab}$이고, $a>0,\ b<0$일 때 $\sqrt{\frac ab}=-\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$이다. 이 두 경우에는 보통의 근호 계산 법칙이 성립하지 않는다.
Step 2. (가)의 잘못된 곳 찾기
$\sqrt{\frac{1}{-9}}$은 분자가 양수, 분모가 음수인 경우이므로 $\sqrt{\frac{1}{-9}}=-\frac{1}{\sqrt{-9}}$이다.
그런데 ㉠에서 $\frac{1}{\sqrt{-9}}$로 부호 없이 바꾸었으므로 처음 잘못된 곳은 ㉠이다.
Step 3. (나)의 잘못된 곳 찾기
㉣은 $20\times5=(-20)\times(-5)=100$이므로 옳다.
㉤은 두 음수의 곱이므로 $\sqrt{(-20)\times(-5)}=-\sqrt{-20}\times\sqrt{-5}$이어야 하는데 부호를 빠뜨렸으므로 처음 잘못된 곳은 ㉤이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 인수분해 | 인수분해 수의 계산 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 복소수와 이차방정식 | 음수의 제곱근 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 식의 값 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 나머지정리 | 나머지정리 활용 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 이차방정식과 이차함수 | 최대·최소 활용 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 이차방정식과 이차함수 | x축과 두 점 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 복소수와 이차방정식 | 판별식 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 복소수와 이차방정식 | 켤레복소수 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 나머지정리 | 조립제법 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 이차방정식과 이차함수 | 구간별 최대·최소 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 나머지정리 | 나머지정리 활용 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 나머지정리 | 몫과 나머지 조건 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 식의 값 | 중 | 서술형 |
| 16번 | 나머지정리 | 항등식 미정계수 | 하 | 서술형 |
| 17번 | 복소수와 이차방정식 | i 거듭제곱 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 인수분해 | 인수분해 활용 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 이차방정식과 이차함수 | 접하는 직선 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 이차방정식과 이차함수 | 근의 위치 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 복소수와 이차방정식 | 켤레근 증명 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 이차방정식과 이차함수 | 구간 최댓값 | 중 | 서술형 |