2020 세종고 2학년 2학기 중간고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설
서울세종고등학교 2020학년도 2학기 중간고사 미적분Ⅰ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 미분계수와 도함수 · 함수의 연속 · 함수의 극한 · 도함수의 활용
📍 서울 강남구📅 2020 · 2학기 중간고사∑ 미적분Ⅰ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번함수의 극한∞/∞ 꼴 극한하
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-3}$의 값은?
① $-1$
② $-\frac{1}{3}$
③ $\frac{1}{2}$
④ 1
⑤ $\frac{3}{2}$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 분모의 최고차항으로 나누기
분자와 분모를 각각 $x$로 나누면 $\displaystyle\frac{3+\frac{1}{x}}{2-\frac{3}{x}}$이다.
Step 2. 극한값 구하기
$x\to\infty$일 때 $\frac{1}{x}\to0$, $\frac{3}{x}\to0$이므로 극한값은 $\frac{3}{2}$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번함수의 극한음의 무한대 극한중
다음은 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$를 잘못 계산한 것이다. 처음으로 틀린 부분을 고르면?
$$\begin{aligned}\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+2x}+x}&=\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}+\frac{x}{x}}&&\cdots\ ㉠\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+2x}}{\sqrt{x^2}}+1}&&\cdots\ ㉡\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+2x}{x^2}}+1}&&\cdots\ ㉢\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}&&\cdots\ ㉣\\&=\frac{1}{2}&&\cdots\ ㉤\end{aligned}$$
① ㉠
② ㉡
③ ㉢
④ ㉣
⑤ ㉤
정답 ② · 해설
Step 1. ㉠ 확인하기
분자와 분모를 각각 $x$로 나눈 것이므로 ㉠은 옳다.
Step 2. ㉡ 확인하기
$x\to-\infty$이면 $x<0$이므로 $x=-\sqrt{x^2}$이다. 따라서 $\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}=-\frac{\sqrt{x^2+2x}}{\sqrt{x^2}}$이어야 하는데 부호를 빠뜨렸으므로 ㉡이 처음으로 틀렸다.
Step 3. 올바른 계산 확인하기
올바르게 계산하면 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}$이고 분모가 $0^+$에 가까워지므로 양의 무한대로 발산한다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 함수의 극한 | ∞/∞ 꼴 극한 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 함수의 극한 | 음의 무한대 극한 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 미분계수와 도함수 | 곱의 미분법 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 함수의 연속 | 연속의 뜻 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 함수의 연속 | 구간별 함수 연속 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 함수의 극한 | 치환 극한·그래프 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 미분계수와 도함수 | 미분계수와 극한 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 미분계수와 도함수 | 곱함수 미분가능성 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 미분계수와 도함수 | 그래프 미분가능성 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 함수의 연속 | 연속과 함수 결정 | 중 | 서술형 |
| 12번 | 함수의 연속 | 곱함수 연속 | 중 | 서술형 |
| 13번 | 도함수의 활용 | 접선의 방정식 | 중 | 서술형 |
| 14번 | 함수의 극한 | 극한으로 함수 결정 | 중 | 서술형 |
| 15번 | 도함수의 활용 | 곡선 밖 점 접선 | 중 | 서술형 |
| 16번 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 중 | 서술형 |
| 17번 | 미분계수와 도함수 | 미분계수 정의 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 함수의 연속 | 불연속점과 곱함수 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 함수의 연속 | 교점 개수 함수 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 미분계수와 도함수 | 연속·미분가능 결정 | 중 | 서술형 |