2021 개포고 2학년 1학기 중간고사 기하
기출문제·해설
개포고등학교 2021학년도 1학기 중간고사 기하 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 이차곡선 · 이차곡선과 직선
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 중간고사∑ 기하📝 20문항 (객관식 14 · 서술형 6)
출제 단원
문제 미리보기 (2문항)
1번이차곡선과 직선포물선의 접선중
직선 $y=3x+2$를 $x$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 직선이 포물선 $y^2=16x$에 접할 때, 실수 $k$의 값은?
① $-\frac{8}{9}$
② $-\frac{2}{3}$
③ $-\frac{1}{3}$
④ $\frac{1}{9}$
⑤ $\frac{2}{9}$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 평행이동한 직선 구하기
$y=3(x-k)+2=3x-3k+2$이다.
Step 2. 접선 조건 적용하기
포물선 $y^2=4px$에 접하는 기울기 $m$인 직선은 $y=mx+\dfrac{p}{m}$이다. $p=4$, $m=3$이므로 $y$절편은 $\dfrac{4}{3}$이다.
Step 3. $k$의 값 구하기
$-3k+2=\dfrac{4}{3}$에서 $k=\dfrac{2}{9}$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번이차곡선쌍곡선의 정의중
쌍곡선 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{10}=1$의 두 초점 $F,\ F'$과 쌍곡선 위의 한 점 $P$에 대하여 $\angle FPF'=90^\circ$일 때, 삼각형 $FPF'$의 넓이는?
① $4$
② $10$
③ $14$
④ $16$
⑤ $20$
정답 ② · 해설
Step 1. 초점 거리 구하기
$c^2=4+10=14$이므로 $\overline{FF'}=2\sqrt{14}$이다.
Step 2. 정의와 피타고라스 정리 쓰기
$|\overline{PF}-\overline{PF'}|=4$이고 $\overline{PF}^2+\overline{PF'}^2=56$이다. 첫 식을 제곱하면 $56-2\,\overline{PF}\cdot\overline{PF'}=16$이므로 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'}=20$이다.
Step 3. 넓이 구하기
$\dfrac{1}{2}\times20=10$
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 이차곡선과 직선 | 포물선의 접선 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 이차곡선 | 쌍곡선의 정의 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 이차곡선 | 타원의 정의 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 이차곡선과 직선 | 쌍곡선의 접선 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 이차곡선 | 쌍곡선의 점근선 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 이차곡선과 직선 | 타원의 접선 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 이차곡선 | 쌍곡선과 넓이 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 이차곡선 | 포물선과 타원 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 이차곡선 | 쌍곡선의 점근선 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 이차곡선 | 포물선의 정의 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 이차곡선 | 포물선의 정의 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 이차곡선과 직선 | 타원의 접선 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 이차곡선 | 타원의 자취 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 이차곡선 | 타원과 넓이 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 이차곡선 | 타원의 정의 | 중 | 서술형 |
| 16번 | 이차곡선 | 포물선의 정의 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 이차곡선 | 쌍곡선의 활용 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 이차곡선과 직선 | 포물선의 접선 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 이차곡선 | 타원의 정의 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 이차곡선과 직선 | 이차곡선의 접선 | 중 | 서술형 |