2021 은광여고 2학년 1학기 기말고사 대수
기출문제·해설
은광여자고등학교 2021학년도 1학기 기말고사 대수 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 수열의 합 · 수학적 귀납법 · 사인법칙과 코사인법칙 · 등차수열과 등비수열
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 기말고사∑ 대수📝 20문항 (객관식 16 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번등차수열과 등비수열등차수열 일반항하
공차가 $2$, 제$10$항이 $-21$인 등차수열에서 처음으로 양수가 되는 항은 제 몇 항인가?
① $20$
② $21$
③ $22$
④ $23$
⑤ $24$
정답 ② · 해설
Step 1. 일반항 구하기
$a_n=a_{10}+(n-10)\cdot 2=-21+2n-20=2n-41$
Step 2. 양수가 되는 조건 구하기
$2n-41>0$에서 $n>20.5$이므로 처음으로 양수가 되는 항은 제$21$항이다. (실제로 $a_{20}=-1$, $a_{21}=1$)
따라서 정답은 ②이다.
2번수학적 귀납법귀납법 부등식중
다음은 $n\ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식
$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}\quad\cdots\ ㉠$$
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?
<증명>
(ⅰ) $n=2$ : (좌변)$=1+\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{5}{4}$, (우변)$=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ $\therefore$ 성립
(ⅱ) $n=k\,(k\ge 2)$일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면, 즉 $1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}<2-\dfrac{1}{k}$라면
$n=k+1$ : (좌변)$=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}$
$<2-\boxed{\text{(가)}}+\dfrac{1}{(k+1)^2}=2-\dfrac{k^2+k+1}{k(k+1)^2}$
$<2-\dfrac{\boxed{\text{(나)}}}{k(k+1)^2}=2-\dfrac{1}{k+1}=$(우변)
따라서 $n=k+1$일 때도 성립한다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n\ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 ㉠이 성립한다.
① (가) $-\dfrac{2}{k}$ (나) $k^2+1$
② (가) $\dfrac{1}{k}$ (나) $k^2-k$
③ (가) $-\dfrac{2}{k}$ (나) $k^2+k$
④ (가) $\dfrac{1}{k}-1$ (나) $k^2+1$
⑤ (가) $\dfrac{1}{k}$ (나) $k^2+k$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. (가) 구하기
귀납 가정에서 $1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{k}$이므로 (가)는 $\frac{1}{k}$이다.
Step 2. 통분 확인하기
$-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}=-\frac{(k+1)^2-k}{k(k+1)^2}=-\frac{k^2+k+1}{k(k+1)^2}$
Step 3. (나) 구하기
$k^2+k+1>k^2+k$이므로 $2-\frac{k^2+k+1}{k(k+1)^2}<2-\frac{k^2+k}{k(k+1)^2}=2-\frac{1}{k+1}$이다. 즉 (나)는 $k^2+k$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 등차수열과 등비수열 | 등차수열 일반항 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 수학적 귀납법 | 귀납법 부등식 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 수열의 합 | 합과 일반항 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 사인법칙과 코사인법칙 | 삼각형의 넓이 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 등차수열과 등비수열 | 등차수열의 합 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 수학적 귀납법 | 귀납적 정의 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 사인법칙과 코사인법칙 | 삼각형 모양 판단 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 수학적 귀납법 | 등비수열 귀납적 정의 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 등차수열과 등비수열 | 등차중항 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 등차수열과 등비수열 | 적립금 원리합계 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 사인법칙과 코사인법칙 | 코사인법칙 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 수열의 합 | 여러 가지 수열의 합 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 수학적 귀납법 | 귀납적 정의 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 사인법칙과 코사인법칙 | 내접원과 넓이 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 수열의 합 | 등비수열의 합 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 수열의 합 | 합과 일반항·부분분수 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 수열의 합 | 부분분수 합 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 수열의 합 | 가우스 기호 합 | 상 | 서술형 |
| 19번 | 사인법칙과 코사인법칙 | 넓이 공식 증명 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 수학적 귀납법 | 귀납적 정의 주기 | 상 | 서술형 |