2021 세종고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
서울세종고등학교 2021학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 방정식과 부등식 · 원의 방정식 · 직선의 방정식 · 평면좌표
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 18 · 서술형 2)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 방정식과 부등식허근과 켤레근중
삼차방정식 $x^3+ax^2+bx-6=0$의 한 근이 $1+i$일 때, $a+b$의 값을 구하면? (단, $a$, $b$는 실수이고 $i=\sqrt{-1}$이다.)
① 3
② 5
③ 6
④ 8
⑤ 10
정답 ① · 해설
Step 1. 켤레근 이용하기
계수가 모두 실수이므로 $1+i$가 근이면 켤레복소수 $1-i$도 근이다.
나머지 한 근을 $\gamma$라 하면 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 곱은 $(1+i)(1-i)\gamma=6$이다.
Step 2. 나머지 근 구하기
$(1+i)(1-i)=1-i^2=2$이므로 $2\gamma=6$, $\gamma=3$이다.
Step 3. a, b의 값 구하기
세 근의 합은 $(1+i)+(1-i)+3=5=-a$이므로 $a=-5$이다.
두 근끼리의 곱의 합은 $(1+i)(1-i)+3(1+i)+3(1-i)=2+6=8=b$이다.
$a+b=-5+8=3$이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번여러 가지 방정식과 부등식연립이차방정식중
$x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases}2x-y=3\\x^2-4y=k\end{cases}$가 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 실수 $k$의 값을 구하면?
① -6
② -4
③ -2
④ 4
⑤ 6
정답 ② · 해설
Step 1. 한 문자 소거하기
$2x-y=3$에서 $y=2x-3$이고, 이를 $x^2-4y=k$에 대입하면
$x^2-4(2x-3)=k$, 즉 $x^2-8x+12-k=0$이다.
Step 2. 중근 조건 세우기
$x$의 값 하나에 $y$의 값이 하나씩 정해지므로, 해가 한 쌍이려면 이 이차방정식이 중근을 가져야 한다.
$\frac D4=(-4)^2-(12-k)=4+k=0$이다.
Step 3. k의 값 구하기
$4+k=0$에서 $k=-4$이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 허근과 켤레근 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립일차부등식 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 연립부등식 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 직선의 방정식 | 수선의 발 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 원의 방정식 | 원과 직선의 위치 | 하 | 객관식 |
| 8번 | 원의 방정식 | 지름의 양 끝점 | 하 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 활용 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수와 직선 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 평면좌표 | 세 점에서 같은 거리 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 평면좌표 | 수직선의 내분·외분 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 평면좌표 | 분점과 넓이비 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 직선의 방정식 | 교점의 사분면 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 직선의 방정식 | 삼각형의 수심 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 직선의 방정식 | 평행선 사이의 거리 | 중 | 객관식 |
| 17번 | 원의 방정식 | 두 원의 공통접선 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 원의 방정식 | 원과 접는 문제 | 상 | 객관식 |
| 19번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 허근 ω의 성질 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 원의 방정식 | 접하는 원의 개수 | 상 | 서술형 |