2021 세종고 2학년 1학기 중간고사 대수
기출문제·해설
서울세종고등학교 2021학년도 1학기 중간고사 대수 전 문항(21문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 지수와 로그 · 지수함수와 로그함수 · 삼각함수 · 삼각함수의 그래프
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 중간고사∑ 대수📝 21문항 (객관식 19 · 서술형 2)
문제 미리보기 (2문항)
1번지수와 로그거듭제곱근 개수중
$64$의 세제곱근의 개수를 $a$, 세제곱근의 합을 $b$ 그리고 세제곱근 중 실수의 개수를 $c$라 할 때, $a+b+c$의 값은?
① 3
② 4
③ 5
④ 6
⑤ 7
정답 ② · 해설
Step 1. 세제곱근의 개수와 합 구하기
$64$의 세제곱근은 방정식 $x^3=64$, 즉 $x^3-64=0$의 근이므로 개수는 $a=3$이다.
삼차방정식 $x^3+0\cdot x^2+0\cdot x-64=0$에서 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 합은 $b=0$이다.
Step 2. 실수인 세제곱근의 개수 구하기
$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16)=0$에서 $x^2+4x+16=0$은 판별식이 음수이므로 실근은 $x=4$뿐이다. 즉 $c=1$이다.
Step 3. 값 계산하기
$a+b+c=3+0+1=4$
따라서 정답은 ②이다.
2번지수와 로그지수법칙 식의 값중
$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\sqrt[4]{2^5}}$일 때, $\dfrac{a^{-2}}{a^2+a^{-2}}+\dfrac{a^2}{a^6-a^2}$의 값은?
① $\frac{32}{1023}$
② $\frac{64}{1023}$
③ $\frac{32}{511}$
④ $\frac{64}{511}$
⑤ $\frac{64}{255}$
정답 ② · 해설
Step 1. $a^4$의 값 구하기
$a^{\frac{1}{2}}=\left(2^{\frac{5}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{5}{8}}$이므로 $a=2^{\frac{5}{4}}$, 즉 $a^4=2^5=32$이다.
Step 2. 식 정리하기
첫째 항은 분모·분자에 $a^2$을 곱하면 $\dfrac{1}{a^4+1}$, 둘째 항은 $a^2$으로 약분하면 $\dfrac{1}{a^4-1}$이다.
두 식의 합은 $\dfrac{(a^4-1)+(a^4+1)}{a^8-1}=\dfrac{2a^4}{a^8-1}$이다.
Step 3. 값 대입하기
$\dfrac{2\times32}{32^2-1}=\dfrac{64}{1023}$
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 지수와 로그 | 거듭제곱근 개수 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 지수와 로그 | 지수법칙 식의 값 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 지수와 로그 | 거듭제곱근 계산 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 지수와 로그 | 지수 실생활 활용 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 지수와 로그 | 지수와 근과 계수 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 지수와 로그 | 로그의 성질 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 지수함수와 로그함수 | 지수함수 최대최소 | 하 | 객관식 |
| 8번 | 지수와 로그 | 로그와 약수 개수 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 지수와 로그 | 로그와 최솟값 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 지수와 로그 | 상용로그 활용 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 최대최소 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 지수와 로그 | 상용로그 계산 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 지수함수와 로그함수 | 대소 비교 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 지수함수와 로그함수 | 지수·로그 그래프 대칭 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 삼각함수 | 부채꼴 둘레와 넓이 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 삼각함수 | 동경의 대칭 | 중 | 객관식 |
| 17번 | 삼각함수 | 삼각함수의 정의 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 삼각함수 | 삼각함수 부호 | 중 | 객관식 |
| 19번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각방정식 근의 합 | 중 | 객관식 |
| 20번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각방정식 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 지수함수와 로그함수 | 지수·로그 교점 증명 | 상 | 서술형 |