2022 개포고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2
기출문제·해설
개포고등학교 2022학년도 2학기 중간고사 공통수학2 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도형의 이동 · 집합 · 명제 · 평면좌표
📍 서울 강남구📅 2022 · 2학기 중간고사∑ 공통수학2📝 23문항 (객관식 17 · 서술형 6)
문제 미리보기 (2문항)
1번도형의 이동평행이동내접원상
다음 그림과 같이 좌표평면에서 세 점 $\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{A}(8,0)$, $\mathrm{B}(0,6)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB 를 평행이동한 도형을 삼각형 $\mathrm{O'A'B'}$ 이라 하자. 점 $\mathrm{B'}$ 의 좌표가 $(4,9)$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{O'A'B'}$ 에 내접하는 원의 방정식은 $x^2+y^2+ax+by+c=0$ 이다. $a+b+c$ 의 값은? (단, $a,\ b,\ c$ 는 상수이다.)
① 31
② 33
③ 35
④ 37
⑤ 39
정답 ③ · 해설
Step 1. 평행이동 방향 구하기
$\mathrm{B}(0,6)$이 $\mathrm{B'}(4,9)$로 옮겨졌으므로 $x$축 방향으로 $4$, $y$축 방향으로 $3$만큼 평행이동한 것이다.
따라서 $\mathrm{O'}(4,3)$, $\mathrm{A'}(12,3)$, $\mathrm{B'}(4,9)$이다.
Step 2. 내접원의 중심과 반지름 구하기
삼각형 $\mathrm{O'A'B'}$은 $\mathrm{O'}$에서 직각이고 두 변이 $8,\ 6$, 빗변이 $\sqrt{8^2+6^2}=10$인 직각삼각형이다.
직각삼각형의 내접원의 반지름은 $\frac{8+6-10}{2}=2$이고, 중심은 직각인 꼭짓점 $\mathrm{O'}$에서 두 변 방향으로 각각 $2$만큼 떨어진 $(6,5)$이다.
Step 3. 원의 방정식 전개하기
$(x-6)^2+(y-5)^2=4$를 전개하면 $x^2+y^2-12x-10y+36+25-4=0$, 즉 $x^2+y^2-12x-10y+57=0$이다.
$a=-12,\ b=-10,\ c=57$이므로 $a+b+c=-12-10+57=35$이다.
따라서 정답은 ③이다.
2번도형의 이동평행이동넓이상
다음 그림과 같이 좌표평면에서 원 $C_1: x^2+y^2=25$ 를 $x$ 축의 방향으로 3만큼, $y$ 축의 방향으로 $-1$ 만큼 평행이동한 원을 $C_2$ 라 하자. 원 $C_1$ 과 직선 $3x-y-10=0$ 이 만나는 두 점을 $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$ 를 $x$ 축의 방향으로 3만큼, $y$ 축의 방향으로 $-1$ 만큼 평행이동한 점을 각각 $\mathrm{C},\ \mathrm{D}$ 라 하자. 선분 AC, 선분 BD, 호 AB, 호 CD 로 둘러싸인 색칠된 부분의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S$ 의 값은?
① $6\sqrt6$
② $7\sqrt6$
③ $8\sqrt6$
④ $9\sqrt6$
⑤ $10\sqrt6$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 넓이를 사각형으로 바꾸기
호 $\mathrm{CD}$는 호 $\mathrm{AB}$를 평행이동한 것이므로, 호 $\mathrm{AB}$ 쪽에서 빠지는 활꼴과 호 $\mathrm{CD}$ 쪽에서 더해지는 활꼴의 넓이가 같다.
따라서 $S$는 사각형 $\mathrm{ABDC}$의 넓이와 같고, $\overline{\mathrm{AC}}\parallel\overline{\mathrm{BD}}$, $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}$이므로 평행사변형이다.
Step 2. 두 변의 길이와 위치 관계 구하기
이동 방향 $(3,-1)$은 직선 $3x-y-10=0$의 법선 방향 $(3,-1)$과 같으므로 $\overline{\mathrm{AC}}\perp\overline{\mathrm{AB}}$이고 $\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$이다.
원점과 직선 사이의 거리는 $\frac{|-10|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\sqrt{10}$이므로 $\overline{\mathrm{AB}}=2\sqrt{25-10}=2\sqrt{15}$이다.
Step 3. 넓이 구하기
사각형 $\mathrm{ABDC}$는 직사각형이므로 $S=2\sqrt{15}\times\sqrt{10}=2\sqrt{150}=10\sqrt6$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 도형의 이동 | 평행이동내접원 | 상 | 객관식 |
| 2번 | 도형의 이동 | 평행이동넓이 | 상 | 객관식 |
| 3번 | 도형의 이동 | 평행이동공통부분 | 상 | 객관식 |
| 4번 | 도형의 이동 | 대칭이동최단 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 도형의 이동 | 직선대칭증명 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 평면좌표 | 직각삼각형 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 도형의 이동 | 원의이동접점 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 집합 | 원소의합 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 집합 | 약수와집합 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 집합 | 부분집합조건 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 집합 | 복소수와집합 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 집합 | 원소의개수 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 명제 | 진리집합 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 명제 | 충분조건 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 명제 | 대우증명 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 명제 | 진리집합 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 함수 | 이차함수와직선 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 도형의 이동 | 도형의이동 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 집합 | 집합의연산 | 하 | 서술형 |
| 20번 | 명제 | 진리집합 | 하 | 서술형 |
| 21번 | 도형의 이동 | 직선대칭 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 집합 | 부분집합조건 | 상 | 서술형 |
| 23번 | 명제 | 귀류법증명 | 상 | 서술형 |