2022 은광여고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
은광여자고등학교 2022학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 직선의 방정식 · 여러 가지 방정식과 부등식 · 평면좌표 · 이차방정식과 이차함수
📍 서울 강남구📅 2022 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 16 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 방정식과 부등식절댓값부등식중
부등식 $|2x+5|-3|x-1|\ge 0$을 만족하는 $x$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $\left|\dfrac{M}{m}\right|$의 값은?
① $12$
② $16$
③ $20$
④ $24$
⑤ $28$
정답 ③ · 해설
Step 1. 제곱할 수 있는 꼴로 바꾸기
$|2x+5|-3|x-1|\ge0$은 $|2x+5|\ge3|x-1|$이고, 양변이 모두 $0$ 이상이므로 양변을 제곱해도 부등호 방향이 유지된다.
$(2x+5)^2\ge(3x-3)^2$, 즉 $(2x+5)^2-(3x-3)^2\ge0$이다.
Step 2. 부등식 풀기
합차 공식으로 인수분해하면 $\{(2x+5)-(3x-3)\}\{(2x+5)+(3x-3)\}=(8-x)(5x+2)\ge0$이다.
즉 $(x-8)(5x+2)\le0$이므로 $-\frac{2}{5}\le x\le8$이다.
Step 3. 식의 값 구하기
$M=8,\ m=-\frac{2}{5}$이므로 $\left|\frac{M}{m}\right|=\left|8\times\left(-\frac{5}{2}\right)\right|=20$이다.
따라서 정답은 ③이다.
2번여러 가지 방정식과 부등식연립이차중
$x,\ y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases}3x+y=2k\\x^2+xy+y^2=3\end{cases}$를 만족시키는 실수 $x,\ y$가 존재하기 위한 정수 $k$의 개수는?
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 한 문자 소거하기
$3x+y=2k$에서 $y=2k-3x$를 $x^2+xy+y^2=3$에 대입하면
$x^2+x(2k-3x)+(2k-3x)^2=3$, 즉 $x^2+2kx-3x^2+4k^2-12kx+9x^2=3$이다.
정리하면 $7x^2-10kx+4k^2-3=0$이다.
Step 2. 실근 조건 세우기
실수 $x$가 존재해야 하므로(그러면 $y$도 실수) 판별식이 $0$ 이상이다.
$\frac{D}{4}=(5k)^2-7(4k^2-3)=25k^2-28k^2+21=21-3k^2\ge0$이므로 $k^2\le7$이다.
Step 3. 정수 k의 개수 세기
$k^2\le7$을 만족하는 정수 $k$는 $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$의 $5$개이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값부등식 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 직선의 방정식 | 평행수직 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 직선의 방정식 | 교점지나는직선 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 평면좌표 | 두점같은거리 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 상반방정식 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | ω의성질 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수결정 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 복이차방정식 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차부등식 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 이차방정식과 이차함수 | 판별식과교점 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 직선의 방정식 | 정사각형직선 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 직선의 방정식 | 삼각형넓이 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 직선의 방정식 | 각의이등분선 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 평면좌표 | 내분점사분면 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 직선의 방정식 | 삼각형불성립 | 중 | 객관식 |
| 17번 | 평면좌표 | 도형과좌표 | 상 | 서술형 |
| 18번 | 직선의 방정식 | 점과직선거리 | 상 | 서술형 |
| 19번 | 평면좌표 | 두점사이거리 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 평면좌표 | 내분외분 | 중 | 서술형 |