2022 경기여고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
경기여자고등학교 2022학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 이차방정식과 이차함수 · 여러 가지 방정식과 부등식 · 복소수와 이차방정식 · 다항식의 연산
📍 서울 강남구📅 2022 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 22문항 (객관식 18 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번다항식의 연산전개식 계수중
$(2x^2+5x-4)^4$의 전개식에서 $x^7$의 계수는?
① 40
② 80
③ 120
④ 160
⑤ 200
정답 ④ · 해설
Step 1. $x^7$이 나오는 경우 찾기
네 개의 인수에서 $2x^2$을 $p$개, $5x$를 $q$개, $-4$를 $r$개 골랐다고 하면 $p+q+r=4$, $2p+q=7$이다.
$2p\le7$이고 $q=7-2p\le4-p$이어야 하므로 $p=3,\ q=1,\ r=0$뿐이다.
Step 2. 계수 구하기
네 인수 중 $5x$를 고를 인수를 정하는 방법은 $\frac{4!}{3!\,1!}=4$가지이다.
따라서 $x^7$의 계수는 $4\times2^3\times5=4\times8\times5=160$이다.
따라서 정답은 ④이다.
2번나머지정리항등식 계수합중
등식 $(x^2-2x+3)^3=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_6x^6$이 $x$에 대한 항등식일 때, $a_1+a_3+a_5$의 값은? (단, $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_6$은 상수이다.)
① -112
② -104
③ 8
④ 104
⑤ 112
정답 ② · 해설
Step 1. $x=1$ 대입하기
항등식이므로 어떤 $x$를 대입해도 성립한다. $x=1$을 대입하면 $(1-2+3)^3=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_6$이므로 $a_0+a_1+\cdots+a_6=8$이다.
Step 2. $x=-1$ 대입하기
$x=-1$을 대입하면 $(1+2+3)^3=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6$이므로 그 값은 $216$이다.
Step 3. 두 식 빼기
첫째 식에서 둘째 식을 빼면 짝수 번째 계수는 지워지고 $2(a_1+a_3+a_5)=8-216=-208$이다.
따라서 $a_1+a_3+a_5=-104$이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 다항식의 연산 | 전개식 계수 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 나머지정리 | 항등식 계수합 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 복소수와 이차방정식 | 판별식 항등식 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수와 직선 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 최대최소 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 복소수와 이차방정식 | 판별식 실근 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 다항식의 연산 | 나눗셈 항등식 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 도형 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 이차방정식과 이차함수 | 도형 최대최소 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 이차방정식과 이차함수 | 도형 최대최소 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 사차방정식 근 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 삼차방정식 근 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | ω 성질 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 참거짓 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 교점개수 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 이차방정식과 이차함수 | 최대최소 함수 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 인수분해 | 사차식 인수분해 | 상 | 객관식 |
| 19번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 거듭제곱 | 하 | 서술형 |
| 20번 | 나머지정리 | 나머지정리 몫 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 두 근 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 상반방정식 | 상 | 서술형 |