2023 경기여고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
경기여자고등학교 2023학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 복소수와 이차방정식 · 여러 가지 방정식과 부등식 · 이차방정식과 이차함수 · 다항식의 연산
📍 서울 강남구📅 2023 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 22문항 (객관식 18 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번복소수와 이차방정식근과 계수 곱셈공식하
$x^2+x-1=0$의 두 근이 $\alpha,\ \beta$일 때, $\alpha^3+\beta^3$의 값은?
① $-4$
② $-2$
③ $0$
④ $2$
⑤ $4$
정답 ① · 해설
Step 1. 근과 계수의 관계 정리하기
$x^2+x-1=0$의 두 근이 $\alpha,\ \beta$이므로 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha+\beta=-1$, $\alpha\beta=-1$이다.
Step 2. 곱셈공식 변형 이용하기
$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$이므로 합과 곱만으로 계산할 수 있다.
$\alpha^3+\beta^3=(-1)^3-3\times(-1)\times(-1)=-1-3=-4$이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번나머지정리항등식 치환하
$x$의 값에 관계없이 등식
$$(x+2)^3=(x+1)^3+a(x+1)^2+b(x+1)+c$$
가 항상 성립할 때, 상수 $a,\ b,\ c$에 대하여 $a-b+c$의 값은?
① $-3$
② $-2$
③ $-1$
④ $0$
⑤ $1$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 공통부분 치환하기
$x+1=t$로 놓으면 $x+2=t+1$이므로 주어진 등식은 $(t+1)^3=t^3+at^2+bt+c$이다.
$x$에 관계없이 성립하므로 이 등식은 $t$에 대한 항등식이다.
Step 2. 계수 비교로 a, b, c 구하기
좌변을 전개하면 $t^3+3t^2+3t+1=t^3+at^2+bt+c$이다.
항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 $a=3,\ b=3,\ c=1$이다.
Step 3. a-b+c의 값 구하기
$a-b+c=3-3+1=1$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수 곱셈공식 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 나머지정리 | 항등식 치환 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 복소수와 이차방정식 | 허수 차수낮추기 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 복소수와 이차방정식 | 켤레복소수 등식 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 이차방정식과 이차함수 | 조건으로 최대최소 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 이차방정식과 이차함수 | 교점 지나는 직선 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 공통부분 치환 사차 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 다항식의 연산 | 세제곱근 곱셈공식 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 고차방정식 실근 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 인수분해 | 이차식 인수분해 조건 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 복소수와 이차방정식 | 정수근 조건 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 복소수와 이차방정식 | 역수근 방정식 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 켤레근 삼차 보기 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 허근 관계 삼차 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 다항식의 연산 | 식의 값 자릿수합 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 복소수와 이차방정식 | 공통근 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 복소수와 이차방정식 | 허근 거듭제곱 실수 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 복소수와 이차방정식 | 중근 조건 k의 개수 | 상 | 객관식 |
| 19번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 변형 도형 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 나머지정리 | 나머지정리 합성 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 인수분해 | 인수분해 경우 나누기 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 이차방정식과 이차함수 | 대칭 이차함수 최솟값 | 상 | 서술형 |