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2022 현대고 2학년 1학기 기말고사 기하
기출문제·해설

현대고등학교 2022학년도 1학기 기말고사 기하 전 문항(16문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 이차곡선과 직선 · 벡터의 연산 · 평면벡터의 성분과 내적

📍 서울 강남구📅 2022 · 1학기 기말고사∑ 기하📝 16문항 (객관식 16 · 서술형 0)

출제 단원

1번이차곡선과 직선타원의 접선하

타원 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 위의 점 $P(2,1)$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 할 때, 삼각형 $OAB$의 넓이는? (단, $O$는 원점이다.)

① 4

② $\dfrac{9}{2}$

③ 5

④ $\dfrac{11}{2}$

⑤ 6

정답 ① · 해설

Step 1. 접선의 방정식 구하기

타원 위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선은 $\dfrac{x_1x}{8}+\dfrac{y_1y}{2}=1$이므로 $\dfrac{2x}{8}+\dfrac{y}{2}=1$, 즉 $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1$

Step 2. 절편 구하기

$x$절편은 $4$, $y$절편은 $2$이므로 $A(4,0)$, $B(0,2)$

Step 3. 넓이 구하기

$\frac{1}{2}\times4\times2=4$

따라서 정답은 ①이다.

2번이차곡선과 직선기울기와 접선하

직선 $y=x+k\,(k>0)$가 타원 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$에 접할 때, 상수 $k$의 값은?

① 1

② $\sqrt{2}$

③ $\sqrt{3}$

④ 2

⑤ $\sqrt{5}$

정답 ⑤ · 해설

Step 1. 대입하여 이차방정식 만들기

$\dfrac{x^2}{4}+(x+k)^2=1$의 양변에 $4$를 곱하면 $5x^2+8kx+4k^2-4=0$

Step 2. 접할 조건 적용하기

판별식 $\dfrac{D}{4}=16k^2-5(4k^2-4)=-4k^2+20=0$이므로 $k^2=5$

Step 3. k 구하기

$k>0$이므로 $k=\sqrt{5}$

따라서 정답은 ⑤이다.

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