2025 영동고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
영동고등학교 2025학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 복소수와 이차방정식 · 인수분해 · 다항식의 연산 · 나머지정리
📍 서울 강남구📅 2025 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 22문항 (객관식 18 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번복소수와 이차방정식판별식 활용하
영동이는 다음 조건을 모두 만족시키는 직사각형 모양으로 색종이를 자르려고 한다. 조건을 모두 만족시키는 직사각형 모양으로 색종이를 자를 수 있도록 하는 양의 실수 $x$, $y$를 바르게 짝지은 것은?
(가) 색종이의 둘레의 길이는 $x\,\text{cm}$이다.
(나) 색종이의 넓이는 $y\,\text{cm}^2$
① $x=16,\ y=20$
② $x=20,\ y=27$
③ $x=24,\ y=35$
④ $x=28,\ y=52$
⑤ $x=32,\ y=70$
정답 ③ · 해설
Step 1. 가로, 세로를 두 근으로 보기
직사각형의 가로, 세로의 길이를 $p,\ q$라 하면 $2(p+q)=x$, $pq=y$이므로 $p+q=\frac{x}{2}$, $pq=y$이다.
근과 계수의 관계에 의해 $p,\ q$는 이차방정식 $t^2-\frac{x}{2}t+y=0$의 두 근이다.
Step 2. 실근 조건 세우기
$p,\ q$가 실수이어야 하므로 판별식 $D=\frac{x^2}{4}-4y\ge0$, 즉 $x^2\ge16y$이다.
$x>0$, $y>0$이면 두 근의 합과 곱이 모두 양수이므로 두 근은 양수가 된다.
Step 3. 보기 확인하기
①은 $256<320$, ②는 $400<432$, ③은 $576\ge560$, ④는 $784<832$, ⑤는 $1024<1120$이다.
$x^2\ge16y$를 만족시키는 것은 ③뿐이다.
따라서 정답은 ③이다.
2번복소수와 이차방정식근과 계수하
$x$에 대한 이차방정식 $x^2-(a^2-4a-21)x-2a+5=0$의 두 실근은 절댓값이 같고 부호가 서로 다를 때, 이 이차방정식의 서로 다른 두 실근의 곱은 $b$이다. $a-b$의 값은? ($a$는 상수)
① 8
② 10
③ 12
④ 14
⑤ 16
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 두 근의 조건 정리하기
두 실근의 절댓값이 같고 부호가 다르므로 두 근의 합은 $0$, 두 근의 곱은 음수이다.
Step 2. a의 값 구하기
근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 $a^2-4a-21=0$이므로 $(a-7)(a+3)=0$, $a=7$ 또는 $a=-3$이다.
두 근의 곱은 $-2a+5<0$이므로 $a>\frac52$이고, 따라서 $a=7$이다.
Step 3. a-b의 값 구하기
두 근의 곱은 $b=-2\times7+5=-9$이다.
$a-b=7-(-9)=16$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 복소수와 이차방정식 | 판별식 활용 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 변형 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 상등 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 나머지정리 | 나눗셈 항등식 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 인수분해 | 이차식 인수분해 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 나머지정리 | 계수의 합 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 나머지정리 | 조립제법 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 인수분해 | 인수분해와 소수 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 거듭제곱 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 최솟값 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 이차방정식과 이차함수 | 치환 최대최소 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 이차방정식과 이차함수 | 구간 최대최소 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 나머지정리 | 항등식 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 변형 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 인수분해 | 공통인수와 최솟값 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 인수분해 | 완전제곱식 | 상 | 객관식 |
| 19번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수와 직선의 접함 | 하 | 서술형 |
| 20번 | 인수분해 | 인수분해 활용 | 하 | 서술형 |
| 21번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 변형 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 다항식의 연산 | 식의 값 | 중 | 서술형 |