2019 진선여고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2
기출문제·해설
진선여자고등학교 2019학년도 2학기 중간고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 원의 방정식 · 집합 · 명제 · 평면좌표
📍 서울 강남구📅 2019 · 2학기 중간고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 15 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번집합원소와 집합하
집합 $A=\{x\mid x$는 $20$ 미만의 소수$\}$에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?
① $2\in A$
② $3\in A$
③ $6\in A$
④ $\varnothing\subset A$
⑤ $15\notin A$
정답 ③ · 해설
Step 1. 집합 A의 원소 나열하기
$20$ 미만의 소수는 $2,3,5,7,11,13,17,19$이므로 $A=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$이다.
Step 2. 각 보기 확인하기
$2,\ 3$은 $A$의 원소이므로 ①, ②는 옳다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 ④도 옳다.
$15=3\times5$는 소수가 아니므로 $15\notin A$로 ⑤는 옳고, $6=2\times3$도 소수가 아니므로 $6\notin A$이어서 ③은 옳지 않다.
따라서 정답은 ③이다.
2번원의 방정식원의 방정식하
원 $x^2+y^2+8x-2y+a^2-4a+5=0$의 넓이를 $S$라 할 때, $S$의 최댓값은? (단, $a$는 실수이다.)
① $2\pi$
② $4\pi$
③ $8\pi$
④ $12\pi$
⑤ $16\pi$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 원의 방정식을 표준형으로 바꾸기
$x^2+8x+y^2-2y+a^2-4a+5=0$을 완전제곱식으로 고치면 $(x+4)^2-16+(y-1)^2-1+a^2-4a+5=0$이다.
즉 $(x+4)^2+(y-1)^2=12+4a-a^2$이다.
Step 2. 반지름의 제곱의 최댓값 구하기
$r^2=-a^2+4a+12=-(a^2-4a+4)+16=16-(a-2)^2$이다.
$(a-2)^2\ge0$이므로 $r^2$은 $a=2$일 때 최댓값 $16$을 가진다.
Step 3. 넓이의 최댓값 구하기
$S=\pi r^2$이므로 최댓값은 $16\pi$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 집합 | 원소와 집합 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 원의 방정식 | 원의 방정식 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 집합 | 집합의 상등 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 명제 | 역의 참거짓 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 명제 | 명제의 부정과 이차부등식 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 도형의 이동 | 도형의 이동 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 명제 | 충분·필요조건 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 집합 | 부분집합의 개수 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 원의 방정식 | 원과 직선의 위치관계 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 집합 | 집합의 연산 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 집합 | 원소의 개수 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 평면좌표 | 무게중심과 평행이동 | 하 | 객관식 |
| 13번 | 원의 방정식 | 원의 접선 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 평면좌표 | 직각이등변삼각형의 꼭짓점 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 원의 방정식 | 원의 접선과 넓이 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 집합 | 집합의 연산 | 중 | 서술형 |
| 17번 | 원의 방정식 | 접선과 평행이동 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 명제 | 대우를 이용한 증명 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 원의 방정식 | 최단거리와 원 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 원의 방정식 | 외접원의 방정식 | 중 | 서술형 |