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2023 진선여고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설

진선여자고등학교 2023학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 다항식의 연산 · 복소수와 이차방정식 · 나머지정리 · 이차방정식과 이차함수

📍 서울 강남구📅 2023 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 20문항 (객관식 17 · 서술형 3)

출제 단원

1번다항식의 연산다항식 전개하

다항식 $(x-2)(x-1)(x+2)(x+4)$를 전개한 식에서 $x^2$의 계수를 $a$, 상수항을 $b$라 할 때, $a+b$의 값은?

① $-8$

② $-4$

③ $0$

④ $4$

⑤ $8$

정답 ⑤ · 해설

Step 1. 짝지어 두 이차식 만들기

합차 공식을 쓸 수 있게 $(x-2)(x+2)=x^2-4$, $(x-1)(x+4)=x^2+3x-4$로 묶는다.

Step 2. 전개하여 계수 구하기

$(x^2-4)(x^2+3x-4)=x^4+3x^3-4x^2-4x^2-12x+16=x^4+3x^3-8x^2-12x+16$이다.

따라서 $a=-8$, $b=16$이고 $a+b=8$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

2번복소수와 이차방정식복소수 분류하

복소수 $z=(a^2-1)+(a^2-3a+2)i$에 대하여 $z^2$이 양의 실수가 되도록 하는 실수 $a$의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$)

① $2$

② $1$

③ $0$

④ $-1$

⑤ $-2$

정답 ① · 해설

Step 1. z가 실수일 조건 세우기

$z^2$이 양의 실수이려면 $z$는 $0$이 아닌 실수이어야 한다. ($z$가 순허수이면 $z^2$은 음수이고, 그 밖의 허수이면 $z^2$은 허수이다.)

허수부분 $a^2-3a+2=(a-1)(a-2)=0$에서 $a=1$ 또는 $a=2$이다.

Step 2. z가 0이 아닌지 확인하기

$a=1$이면 실수부분 $a^2-1=0$이므로 $z=0$, $z^2=0$이 되어 맞지 않는다.

$a=2$이면 $z=3$이므로 $z^2=9>0$이다.

따라서 정답은 ①이다.

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