2020 경기여고 2학년 1학기 기말고사 기하
기출문제·해설
경기여자고등학교 2020학년도 1학기 기말고사 기하 전 문항(21문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 이차곡선 · 이차곡선과 직선 · 벡터의 연산 · 평면벡터의 성분과 내적
📍 서울 강남구📅 2020 · 1학기 기말고사∑ 기하📝 21문항 (객관식 15 · 서술형 6)
문제 미리보기 (2문항)
1번이차곡선쌍곡선의 정의중
그림과 같이 두 점 $F$, $F'$을 초점으로 하고 주축의 길이가 $3$인 쌍곡선에 대하여 점 $F$를 지나는 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라고 하자. $\overline{AF'}+\overline{BF'}=15$일 때, 선분 $AB$의 길이는?
① 5
② 7
③ 9
④ 11
⑤ 13
정답 ③ · 해설
Step 1. 쌍곡선의 정의 적용하기
두 점 $A$, $B$는 초점 $F$에 가까운 가지 위에 있으므로 $\overline{AF'}-\overline{AF}=3$, $\overline{BF'}-\overline{BF}=3$이다.
Step 2. 두 식 더하기
$(\overline{AF'}+\overline{BF'})-(\overline{AF}+\overline{BF})=6$이므로 $\overline{AF}+\overline{BF}=15-6=9$이다.
Step 3. 선분 $AB$의 길이 구하기
점 $F$는 선분 $AB$ 위에 있으므로 $\overline{AB}=\overline{AF}+\overline{BF}=9$이다.
따라서 정답은 ③이다.
2번이차곡선과 직선포물선의 접선하
포물선 $y^2=4x$에 접하고 직선 $3x+y+5=0$에 수직인 직선의 $y$절편은?
① $-3$
② $-\frac{1}{3}$
③ $1$
④ $\frac{1}{3}$
⑤ $3$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 접선의 기울기 구하기
직선 $3x+y+5=0$의 기울기는 $-3$이므로 이에 수직인 직선의 기울기는 $\frac{1}{3}$이다.
Step 2. 접선의 방정식 구하기
포물선 $y^2=4px$에 접하고 기울기가 $m$인 접선은 $y=mx+\frac{p}{m}$이다. $p=1$, $m=\frac{1}{3}$이므로 $y=\frac{1}{3}x+3$이다.
Step 3. $y$절편 구하기
$y$절편은 $3$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 이차곡선 | 쌍곡선의 정의 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 이차곡선과 직선 | 포물선의 접선 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 이차곡선과 직선 | 타원과 직선의 위치 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 벡터의 연산 | 벡터의 합과 쌍곡선 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 이차곡선 | 타원의 정의 최대 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 이차곡선 | 포물선의 정의 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 이차곡선 | 타원과 직각삼각형 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 이차곡선과 직선 | 타원 밖의 점 접선 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 이차곡선과 직선 | 포물선의 접선 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 벡터의 크기 | 하 | 객관식 |
| 11번 | 이차곡선 | 쌍곡선의 정의 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 단위벡터 자취 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 이차곡선과 직선 | 타원의 접선 활용 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 벡터의 연산 | 벡터의 분해 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 벡터의 연산 | 벡터 자취의 넓이 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 이차곡선 | 포물선 초점현 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 이차곡선과 직선 | 쌍곡선의 접선 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 이차곡선 | 타원의 정의 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 이차곡선과 직선 | 쌍곡선의 접선 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 벡터의 연산 | 세 점이 한 직선 | 하 | 서술형 |
| 21번 | 벡터의 연산 | 정육각형 벡터 | 중 | 서술형 |