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2020 진선여고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

진선여자고등학교 2020학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(19문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 부정적분과 정적분 · 도함수의 활용 · 정적분의 활용

📍 서울 강남구📅 2020 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 19문항 (객관식 16 · 서술형 3)

출제 단원

1번부정적분과 정적분정적분 계산하

$\displaystyle\int_{-1}^{1}(3x^2-2x+1)\,dx$의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

정답 ④ · 해설

Step 1. 대칭구간 성질 이용하기

$-2x$는 기함수이므로 적분값이 $0$이고, $3x^2+1$은 우함수이므로 $\displaystyle 2\int_0^1(3x^2+1)\,dx$로 계산한다.

Step 2. 계산하기

$2\Big[x^3+x\Big]_0^1=2\times2=4$

따라서 정답은 ④이다.

2번도함수의 활용역함수 존재 조건중

함수 $f(x)=-x^3+ax^2-3x+2$의 역함수가 존재하도록 하는 정수 $a$의 개수는?

① 3

② 5

③ 7

④ 9

⑤ 11

정답 ③ · 해설

Step 1. 역함수 존재 조건 세우기

삼차함수의 역함수가 존재하려면 일대일대응, 즉 감소함수이어야 하므로 모든 $x$에 대하여 $f'(x)=-3x^2+2ax-3\le0$이다.

Step 2. 판별식 이용하기

$3x^2-2ax+3\ge0$이 항상 성립해야 하므로 $\dfrac{D}{4}=a^2-9\le0$, $-3\le a\le3$이다.

Step 3. 정수 개수 세기

정수 $a$는 $-3,-2,\cdots,3$의 $7$개이다.

따라서 정답은 ③이다.

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