2022 세종고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
서울세종고등학교 2022학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(21문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 방정식과 부등식 · 원의 방정식 · 평면좌표 · 직선의 방정식
📍 서울 강남구📅 2022 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 21문항 (객관식 17 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 방정식과 부등식삼차방정식하
삼차방정식 $2x^3+3x^2-5x+a=0$이 서로 다른 세 실근 $-1$, $\alpha$, $\beta$를 가질 때, $4(\alpha^2+\beta^2)$의 값은?
① 21
② 22
③ 23
④ 24
⑤ 25
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 근을 대입해 a 구하기
$-1$이 근이므로 $x=-1$을 대입하면 $2\times(-1)^3+3\times(-1)^2-5\times(-1)+a=0$이다.
$-2+3+5+a=0$이므로 $a=-6$이다.
Step 2. 인수분해로 나머지 두 근 구하기
$-1$이 근이므로 인수정리에 의해 $x+1$로 나누어떨어진다. 조립제법으로 나누면 $2x^3+3x^2-5x-6=(x+1)(2x^2+x-6)$이다.
$2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)$이므로 나머지 두 근은 $\frac32$, $-2$이다.
Step 3. $4(\alpha^2+\beta^2)$의 값 구하기
$\alpha^2+\beta^2=\left(\frac32\right)^2+(-2)^2=\frac94+4=\frac{25}{4}$이다.
따라서 $4(\alpha^2+\beta^2)=4\times\frac{25}{4}=25$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번여러 가지 방정식과 부등식ω의 성질중
방정식 $x^3=1$의 한 허근을 $\omega$라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $\overline{\omega}$는 $\omega$의 켤레복소수이다.)
ㄱ. $\omega+\overline{\omega}=1$
ㄴ. $(1+\omega)^{10}=\omega^2$
ㄷ. $1+\omega^5+\omega^{10}=0$
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답 ④ · 해설
Step 1. ㄱ 확인하기
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$에서 허근 $\omega$는 $x^2+x+1=0$의 근이고, 계수가 실수이므로 $\overline{\omega}$가 다른 한 근이다.
근과 계수의 관계에 의해 $\omega+\overline{\omega}=-1$이므로 ㄱ은 거짓이다.
Step 2. ㄴ 확인하기
$\omega^2+\omega+1=0$이므로 $1+\omega=-\omega^2$이다.
$(1+\omega)^{10}=(-\omega^2)^{10}=\omega^{20}=(\omega^3)^6\times\omega^2=\omega^2$이므로 ㄴ은 참이다.
Step 3. ㄷ 확인하기
$\omega^3=1$이므로 $\omega^5=\omega^3\times\omega^2=\omega^2$, $\omega^{10}=(\omega^3)^3\times\omega=\omega$이다.
$1+\omega^5+\omega^{10}=1+\omega^2+\omega=0$이므로 ㄷ은 참이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 삼차방정식 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | ω의 성질 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 평면좌표 | 두 점 사이 거리 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 직선의 방정식 | 평행·수직 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 원의 방정식 | 접하는 원 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 평면좌표 | 내분점·무게중심 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 연립부등식 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 활용 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 직선의 방정식 | 평행한 두 직선 사이 거리 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 원의 방정식 | 원의 방정식 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 원의 방정식 | 원의 방정식 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 원의 방정식 | 아폴로니우스 원·접선 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 원의 방정식 | 두 원의 공통현 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 원의 방정식 | 공통접선 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 항상 성립 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 해와 계수 | 상 | 서술형 |
| 19번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 활용 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수 최대·최소 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 원의 방정식 | 원과 삼각형의 교점 | 상 | 서술형 |