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2023 영동고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설

영동고등학교 2023학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 이차방정식과 이차함수 · 나머지정리 · 복소수와 이차방정식 · 다항식의 연산

📍 서울 강남구📅 2023 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 23문항 (객관식 19 · 서술형 4)

출제 단원

1번이차방정식과 이차함수위치관계하

이차함수 $y=x^2-x+k$의 그래프가 직선 $y=3x$보다 항상 위쪽에 존재하도록 하는 정수 $k$의 최솟값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

정답 ⑤ · 해설

Step 1. 위치 관계를 부등식으로 바꾸기

그래프가 직선보다 항상 위쪽에 있으려면 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2-x+k>3x$, 즉 $x^2-4x+k>0$이어야 한다.

Step 2. 판별식으로 k의 범위 구하기

이차식이 항상 양수이려면 판별식이 음수이어야 하므로 $\frac D4=4-k<0$, 즉 $k>4$이다.

따라서 정수 $k$의 최솟값은 $5$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

2번다항식의 연산곱셈공식변형하

$a^2+9b^2+4c^2=24$, $3ab-6bc-2ca=-2$일 때, $|a+3b-2c|$의 값은? (단, $a$, $b$, $c$는 상수이다.)

① $\sqrt{5}$

② $\sqrt{7}$

③ $2\sqrt{5}$

④ $2\sqrt{7}$

⑤ 6

정답 ③ · 해설

Step 1. 세 항의 제곱 공식 세우기

$(a+3b-2c)^2=a^2+(3b)^2+(-2c)^2+2\{a\cdot3b+3b\cdot(-2c)+(-2c)\cdot a\}$이다.

즉 $(a+3b-2c)^2=a^2+9b^2+4c^2+2(3ab-6bc-2ca)$이다.

Step 2. 값을 대입하여 구하기

$(a+3b-2c)^2=24+2\times(-2)=20$이다.

따라서 $|a+3b-2c|=\sqrt{20}=2\sqrt5$이다.

따라서 정답은 ③이다.

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