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2025 휘문고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설

휘문고등학교 2025학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 복소수와 이차방정식 · 이차방정식과 이차함수 · 다항식의 연산 · 인수분해

📍 서울 강남구📅 2025 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번복소수와 이차방정식판별식하

$x$에 대한 방정식 $x^2-6kx+9k^2-3k+20=0$이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 자연수 $k$의 개수는?

① $4$

② $5$

③ $6$

④ $7$

⑤ $8$

정답 ③ · 해설

Step 1. 판별식 세우기

서로 다른 두 허근을 가지려면 $\frac{D}{4}<0$이어야 한다.

$\frac{D}{4}=9k^2-(9k^2-3k+20)=3k-20$

Step 2. $k$의 범위 구하기

$3k-20<0$에서 $k<\frac{20}{3}$이므로 자연수 $k$는 $1,2,\cdots,6$이다.

따라서 정답은 ③이다.

2번다항식의 연산곱셈공식 변형하

$x=\sqrt{5}+1,\ y=\sqrt{5}-1$일 때, $x^3+y^3=a$이고, $x^3-y^3=b$이다. $\frac{a^2}{b}$의 값은?

① $20$

② $25$

③ $30$

④ $35$

⑤ $40$

정답 ⑤ · 해설

Step 1. 기본 대칭식 구하기

$x+y=2\sqrt{5}$, $x-y=2$, $xy=5-1=4$

Step 2. $a,\ b$ 구하기

$a=(x+y)^3-3xy(x+y)=40\sqrt{5}-24\sqrt{5}=16\sqrt{5}$

$b=(x-y)^3+3xy(x-y)=8+24=32$

Step 3. 값 계산

$\frac{a^2}{b}=\frac{1280}{32}=40$

따라서 정답은 ⑤이다.

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