2018 휘문고 2학년 2학기 중간고사 기하
기출문제·해설
휘문고등학교 2018학년도 2학기 중간고사 기하 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 평면벡터의 성분과 내적 · 공간도형 · 벡터의 연산 · 이차곡선
📍 서울 강남구📅 2018 · 2학기 중간고사∑ 기하📝 20문항 (객관식 15 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번벡터의 연산내분점·외분점 위치벡터하
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 위치벡터를 각각 $\vec a$, $\vec b$라고 하자. 선분 $\mathrm{BA}$를 $3:2$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{AB}$를 $4:5$로 외분하는 점을 $\mathrm{Q}$라고 할 때, 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점을 $\mathrm{M}$, $\mathrm{M}$의 위치벡터는 $\vec m=s\vec a+t\vec b$이다. 두 실수 $s$, $t$의 합 $s+t$의 값은?
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
정답 ① · 해설
Step 1. $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치벡터
$\vec p=\frac{3\vec a+2\vec b}{5}$, $\vec q=\frac{4\vec b-5\vec a}{4-5}=5\vec a-4\vec b$이다.
Step 2. 중점의 위치벡터
$\vec m=\frac{\vec p+\vec q}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{28}{5}\vec a-\frac{18}{5}\vec b\right)=\frac{14}{5}\vec a-\frac95\vec b$이다.
Step 3. 합 구하기
$s+t=\frac{14}{5}-\frac95=1$이다. (직선 $\mathrm{AB}$ 위의 점이므로 계수의 합은 항상 $1$이다.)
따라서 정답은 ①이다.
2번평면벡터의 성분과 내적내적과 이루는 각하
두 벡터 $\vec a$, $\vec b$에 대하여 $|\vec a|=2$, $|\vec b|=4$이다. 두 벡터 $\vec a-2\vec b$와 $3\vec a+\vec b$가 서로 수직일 때, 두 벡터 $\vec a$, $\vec b$가 이루는 각의 크기는?
① $\frac\pi6$
② $\frac\pi3$
③ $\frac\pi2$
④ $\frac{2\pi}{3}$
⑤ $\frac{5\pi}{6}$
정답 ④ · 해설
Step 1. 수직 조건
$(\vec a-2\vec b)\cdot(3\vec a+\vec b)=3|\vec a|^2-5\vec a\cdot\vec b-2|\vec b|^2=12-5\vec a\cdot\vec b-32=0$이다.
Step 2. 내적 구하기
$\vec a\cdot\vec b=-4$이다.
Step 3. 각 구하기
$\cos\theta=\frac{-4}{2\cdot4}=-\frac12$이므로 $\theta=\frac{2\pi}{3}$이다.
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 벡터의 연산 | 내분점·외분점 위치벡터 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 내적과 이루는 각 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 공간도형 | 평면의 결정조건 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 이차곡선 | 포물선의 교점 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 벡터의 연산 | 벡터의 합과 크기 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 벡터 크기의 최대최소 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 이차곡선 | 쌍곡선의 정의 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 벡터의 연산 | 교점의 위치벡터 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 벡터 크기의 최대최소 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 벡터의 성분 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 공간도형 | 점과 평면 사이의 거리 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 이차곡선 | 타원과 자취 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 벡터가 나타내는 영역 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 공간도형 | 정사영의 넓이 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 내적의 성질 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 벡터의 연산 | 벡터의 평행 조건 | 중 | 서술형 |
| 17번 | 평면벡터의 성분과 내적 | 성분과 내적 | 하 | 서술형 |
| 18번 | 이차곡선 | 쌍곡선의 점근선 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 공간도형 | 평면의 위치관계 증명 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 공간도형 | 삼수선의 정리 | 중 | 서술형 |