2018 휘문고 2학년 1학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설
휘문고등학교 2018학년도 1학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 부정적분과 정적분 · 도함수의 활용 · 정적분의 활용 · 미분계수와 도함수
📍 서울 강남구📅 2018 · 1학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 20문항 (객관식 15 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번부정적분과 정적분구분구적법중
다음은 밑면의 반지름의 길이가 $4$, 높이가 $4$인 원뿔의 부피 $V$를 구분구적법을 이용하여 구한 것이다.
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 나열한 것은?
아래 그림과 같이 원뿔의 높이를 $n(\ge2)$등분하여 각 분점을 지나면서 밑면에 평행한 평면으로 원뿔을 자른다. 이때 원뿔 속에서는 각 단면을 밑면으로 하고 높이가 (가)인 원기둥이 $n-1$개가 생긴다. 왼쪽에서부터 $k(1\le k\le n-1)$번째로 나타나는 원기둥의 부피는 (나)이다. 따라서 원뿔 속의 모든 원기둥의 부피의 합을 $V_n$이라 할 때, $V_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}$(나)이므로 $V=\displaystyle\lim_{n\to\infty}V_n=$(다)이다.
① $\frac2n,\ \pi\left(\frac kn\right)^2\frac2n,\ \frac{64}{3}\pi$
② $\frac2n,\ \pi\left(\frac{4k}{n}\right)^2\frac2n,\ \frac{32}{3}\pi$
③ $\frac4n,\ \pi\left(\frac kn\right)^2\frac4n,\ \frac{64}{3}\pi$
④ $\frac4n,\ \pi\left(\frac{4k}{n}\right)^2\frac4n,\ \frac{64}{3}\pi$
⑤ $\frac4n,\ \pi\left(\frac{4k}{n}\right)^2\frac4n,\ \frac{32}{3}\pi$
정답 ④ · 해설
Step 1. (가) 구하기
높이 $4$를 $n$등분하므로 각 원기둥의 높이는 $\frac4n$이다.
Step 2. (나) 구하기
꼭짓점에서 $\frac{4k}{n}$만큼 떨어진 단면의 반지름은 반지름과 높이의 비가 $1:1$이므로 $\frac{4k}{n}$이고, $k$번째 원기둥의 부피는 $\pi\left(\frac{4k}{n}\right)^2\frac4n$이다.
Step 3. (다) 구하기
$V_n=\frac{64\pi}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{64\pi}{n^3}\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\to\frac{64}{3}\pi$이다.
따라서 정답은 ④이다.
2번도함수의 활용최대·최소중
삼차함수 $f(x)=ax^3-3ax^2+b\ (a<0)$가 닫힌 구간 $[1,\ 4]$에서 최댓값 $22$, 최솟값 $-18$을 가질 때, 두 상수 $a,\ b$의 합 $a+b$의 값은?
① $-12$
② $-6$
③ $0$
④ $6$
⑤ $12$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 증가·감소 조사
$f'(x)=3ax(x-2)$이고 $a<0$이므로 $0<x<2$에서 증가, $x>2$에서 감소한다.
Step 2. 최댓값과 최솟값
최댓값은 $f(2)=-4a+b=22$이다. $f(1)=-2a+b$, $f(4)=16a+b$이고 $a<0$이므로 $f(4)<f(1)$, 최솟값은 $16a+b=-18$이다.
Step 3. 연립
빼면 $-20a=40$, $a=-2$, $b=14$이므로 $a+b=12$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 부정적분과 정적분 | 구분구적법 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 도함수의 활용 | 최대·최소 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 도함수의 활용 | 부등식 증명 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 도함수의 활용 | 근의 부호와 개수 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 부정적분과 정적분 | 절댓값 도함수 적분 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 정적분의 활용 | 곡선과 x축 사이 넓이 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 부정적분과 정적분 | 부정적분 항등식 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 도함수의 활용 | 극값 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 도함수의 활용 | 넓이의 변화율 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 부정적분과 정적분 | 정적분과 급수 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 부정적분과 정적분 | 부정적분과 극값 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 부정적분과 정적분 | 최댓값 함수 적분 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 미분계수와 도함수 | 절댓값 함수 미분 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 부정적분과 정적분 | 부정적분과 정적분 | 하 | 서술형 |
| 17번 | 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 정적분의 활용 | 속도와 위치 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 도함수의 활용 | 접선의 y절편 함수 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 도함수의 활용 | 최대·최소 활용 | 중 | 서술형 |