2018 휘문고 2학년 1학기 중간고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설
휘문고등학교 2018학년도 1학기 중간고사 미적분Ⅱ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 수열의 극한 · 급수 · 미분계수와 도함수 · 함수의 연속
📍 서울 강남구📅 2018 · 1학기 중간고사∑ 미적분Ⅱ📝 20문항 (객관식 15 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번수열의 극한수열 극한 성질하
두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. 수열 $\{a_n\}$이 수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0$이면 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n$이다.
ㄴ. 두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$이 각각 수렴하면 수열 $\left\{\dfrac{a_n}{b_n}\right\}$도 수렴한다.
ㄷ. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=1$이면 수열 $\{a_n-b_n\}$도 수렴한다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답 ① · 해설
Step 1. ㄱ 판단하기
$b_n=a_n-(a_n-b_n)$이고 두 수열이 수렴하므로 $\lim b_n=\lim a_n-0$, 참이다.
Step 2. ㄴ 판단하기
$a_n=1$, $b_n=\frac1n$이면 둘 다 수렴하지만 $\frac{a_n}{b_n}=n$은 발산하므로 거짓이다.
Step 3. ㄷ 판단하기
$a_n=n$, $b_n=n+\sqrt n$이면 $\frac{b_n}{a_n}\to1$이지만 $a_n-b_n=-\sqrt n$은 발산하므로 거짓이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번수열의 극한수열 극한 샌드위치하
수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $3n<\sqrt{a_n}<3n+3$을 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3a_n+4n^2}{\sqrt{n^4+2}}$의 값은?
① $27$
② $29$
③ $31$
④ $33$
⑤ $35$
정답 ③ · 해설
Step 1. $a_n$의 범위 구하기
각 변이 양수이므로 제곱하면 $9n^2<a_n<9n^2+18n+9$이다.
Step 2. $\frac{a_n}{n^2}$의 극한 구하기
$9<\frac{a_n}{n^2}<9+\frac{18}{n}+\frac{9}{n^2}$이므로 $\lim\frac{a_n}{n^2}=9$이다.
Step 3. 구하는 극한 계산하기
분자, 분모를 $n^2$으로 나누면 $\frac{3\cdot\frac{a_n}{n^2}+4}{\sqrt{1+\frac{2}{n^4}}}\to27+4=31$
따라서 정답은 ③이다.
문항 구성
| 1번 | 수열의 극한 | 수열 극한 성질 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 수열의 극한 | 수열 극한 샌드위치 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 급수 | 급수 수렴 판정 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 미분계수와 도함수 | 미분계수 정의 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 함수의 연속 | 연속 조건 미정계수 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 함수의 연속 | 극한 함수 연속 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성 판정 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 미분계수와 도함수 | 구간별 함수 미분가능 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 급수 | 급수 성질 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 수열의 극한 | 등비수열 극한 함수 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 함수의 극한 | 가우스 함수 극한 | 하 | 객관식 |
| 12번 | 함수의 연속 | 주기함수 연속 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 수열의 극한 | 극한 함수 실근 개수 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 수열의 극한 | 도형과 수열 극한 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 급수 | 도형 등비급수 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 함수의 극한 | 무리식 극한 | 하 | 서술형 |
| 17번 | 수열의 극한 | 등비수열 극한 분류 | 하 | 서술형 |
| 18번 | 급수 | 부분분수 급수 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 미분계수와 도함수 | 미분계수 변형 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 함수의 연속 | 합성함수 연속성 | 중 | 서술형 |