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2018 휘문고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설

휘문고등학교 2018학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅱ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 적분법 · 도함수의 활용 · 여러 가지 미분법 · 정적분의 활용

📍 서울 강남구📅 2018 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅱ📝 20문항 (객관식 15 · 서술형 5)

출제 단원

1번여러 가지 적분법부분분수 적분하

$\int_{4}^{7}\frac{x-2}{x^2-4x+3}dx$의 값은?

① $\ln2$

② $\frac{3}{2}\ln2$

③ $2\ln2$

④ $\frac{5}{2}\ln2$

⑤ $3\ln2$

정답 ② · 해설

Step 1. 부분분수로 나누기

$\frac{x-2}{(x-1)(x-3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)$이다.

Step 2. 적분하기

$\frac{1}{2}\left[\ln(x-1)+\ln(x-3)\right]_4^7=\frac{1}{2}(\ln6+\ln4-\ln3-\ln1)=\frac{1}{2}\ln8=\frac{3}{2}\ln2$

따라서 정답은 ②이다.

2번여러 가지 미분법역함수의 미분법하

미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$가 존재하고 미분가능하며
$$\lim_{x\to1}\frac{g(x)-2}{x-1}=3$$
을 만족시킬 때, $f'(2)$의 값은?

① $1$

② $\frac{1}{2}$

③ $\frac{1}{3}$

④ $\frac{1}{4}$

⑤ $\frac{1}{5}$

정답 ③ · 해설

Step 1. 극한 조건 해석하기

분모가 $0$으로 가므로 $g(1)=2$이고, $g'(1)=3$이다.

Step 2. 역함수의 미분법 적용하기

$g(1)=2$이므로 $f(2)=1$이고 $f'(2)=\frac{1}{g'(1)}=\frac{1}{3}$이다.

따라서 정답은 ③이다.

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