2019 휘문고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
휘문고등학교 2019학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 복소수와 이차방정식 · 이차방정식과 이차함수 · 나머지정리 · 다항식의 연산
📍 서울 강남구📅 2019 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 22문항 (객관식 17 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번복소수와 이차방정식i의 거듭제곱하
다음 식의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$이다.)
$$\left(1+\frac11\right)+\left(i+\frac1i\right)+\left(i^2+\frac1{i^2}\right)+\left(i^3+\frac1{i^3}\right)+\cdots+\left(i^{2020}+\frac1{i^{2020}}\right)$$
① $-2i$
② $-2$
③ $0$
④ $2$
⑤ $2i$
정답 ④ · 해설
Step 1. 주기 파악하기
$i^k$는 주기 4로 $1,i,-1,-i$가 반복되어 연속한 네 항의 합은 $0$이다. $\frac{1}{i^k}=(-i)^k$도 마찬가지이다.
Step 2. 합 구하기
$k=0\sim2019$의 2020개 항의 합은 $0$이므로 남는 것은 $i^{2020}+\frac1{i^{2020}}=1+1=2$
따라서 정답은 ④이다.
2번복소수와 이차방정식순허수 조건하
복소수
$$z=(-5+i)a+(5-4i)\ (\text{단, }a\text{는 실수})$$
에 대하여 $z^2$이 음의 실수일 때, $z^2$의 값을 $b$라 할 때, $b$의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$이다.)
① $-1$
② $-4$
③ $-9$
④ $-16$
⑤ $-25$
정답 ③ · 해설
Step 1. 실수부분과 허수부분 정리하기
$z=(5-5a)+(a-4)i$
Step 2. 조건 적용하기
$z^2$이 음의 실수이려면 $z$가 순허수이어야 하므로 $5-5a=0$, $a-4\ne0$에서 $a=1$, $z=-3i$
Step 3. $b$ 구하기
$b=z^2=(-3i)^2=-9$
따라서 정답은 ③이다.
문항 구성
| 1번 | 복소수와 이차방정식 | i의 거듭제곱 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 복소수와 이차방정식 | 순허수 조건 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 다항식의 연산 | 다항식의 나눗셈 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 다항식의 연산 | 다항식 덧셈·뺄셈 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 인수분해 | 인수분해 활용 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 나머지정리 | 항등식 | 하 | 객관식 |
| 7번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수의 관계 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 변형 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 나머지정리 | 나머지정리 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 거듭제곱 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 나머지정리 | 조립제법 반복 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수와 직선 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 이차방정식과 이차함수 | 최대최소 활용 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 이차방정식과 이차함수 | 도형 넓이 최소 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 이차식 결정 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 이차방정식과 이차함수 | 이차함수와 직선 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 나머지정리 | 나눗셈과 나머지정리 | 중 | 객관식 |
| 18번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 상등 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 이차방정식과 이차함수 | 판별식 위치관계 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 이차방정식과 이차함수 | 제한된 범위 최대최소 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 나머지정리 | 나머지정리 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 복소수와 이차방정식 | 근의 조건 | 중 | 서술형 |