2019 휘문고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
휘문고등학교 2019학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(21문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 원의 방정식 · 여러 가지 방정식과 부등식 · 직선의 방정식 · 평면좌표
📍 서울 강남구📅 2019 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 21문항 (객관식 16 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번복소수와 이차방정식ω의 성질중
사차방정식 $x^4+2x^3-4x^2-5x-6=0$의 한 허근을 $w$라 할 때, 두 실수 $p$, $q$에 대하여 $1+w+w^2+\cdots+w^{1000}=pw+q$이다. $p+q$의 값은?
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 허근이 만족하는 식 구하기
$x=2$, $x=-3$을 대입하면 성립하므로 $x^4+2x^3-4x^2-5x-6=(x-2)(x+3)(x^2+x+1)$이다. 따라서 $w^2+w+1=0$, $w^3=1$이다.
Step 2. 거듭제곱의 합 정리
연속한 세 항의 합 $w^n(1+w+w^2)=0$이다. 항이 $1001$개이고 $1001=3\cdot333+2$이므로 남는 항은 $w^{999}+w^{1000}=1+w$이다.
Step 3. 값 계산
$pw+q=w+1$에서 $p=1$, $q=1$이므로 $p+q=2$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번평면좌표무게중심하
좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(-6a,\ b^2)$, $\mathrm{B}(a^2,\ 4b)$, $\mathrm{C}(15,\ 13)$에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심의 좌표가 $(2,\ 3)$일 때, 두 실수 $a$, $b$의 합 $a+b$의 값은?
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
정답 ④ · 해설
Step 1. $x$좌표 조건
$\frac{-6a+a^2+15}{3}=2$에서 $a^2-6a+9=0$, $(a-3)^2=0$이므로 $a=3$이다.
Step 2. $y$좌표 조건
$\frac{b^2+4b+13}{3}=3$에서 $(b+2)^2=0$이므로 $b=-2$이다.
Step 3. 합 계산
$a+b=1$이다.
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 복소수와 이차방정식 | ω의 성질 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 평면좌표 | 무게중심 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 원의 방정식 | 원이 될 조건 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 삼차방정식 중근 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차부등식 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 원의 방정식 | 원과 직선 위치 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 이차방정식과 이차함수 | 근의 분리 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 원의 방정식 | 아폴로니우스 원 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 평면좌표 | 내분점 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 직선의 방정식 | 세 점 일직선 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 직선의 방정식 | 정점·수직 조건 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 해 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 직선의 방정식 | 삼각형 넓이 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 직선의 방정식 | 외심과 교점 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 원의 방정식 | 원과 직선 거리 | 중 | 객관식 |
| 17번 | 복소수와 이차방정식 | ω의 성질 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 해 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 평면좌표 | 각의 이등분선 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 직선의 방정식 | 삼각형 안 될 조건 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 원의 방정식 | 원의 접선 | 중 | 서술형 |