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2019 휘문고 2학년 1학기 기말고사 기하
기출문제·해설

휘문고등학교 2019학년도 1학기 기말고사 기하 전 문항(19문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 이차곡선 · 정적분의 활용 · 평면벡터의 성분과 내적 · 여러 가지 적분법

📍 서울 강남구📅 2019 · 1학기 기말고사∑ 기하📝 19문항 (객관식 14 · 서술형 5)

출제 단원

1번여러 가지 적분법치환적분하

양의 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 $f(x)$가 $x>0$인 모든 실수 $x$에 대하여
$$xf'(x)=6\ln\sqrt{x}$$
이고 $f(1)=3$이다. $f(e^4)$의 값은?

① 25

② 26

③ 27

④ 28

⑤ 29

정답 ③ · 해설

Step 1. $f'(x)$ 구하기

$6\ln\sqrt{x}=3\ln x$이므로 $f'(x)=\frac{3\ln x}{x}$이다.

Step 2. $f(x)$ 구하기

$\ln x=u$로 치환하면 $f(x)=\frac{3}{2}(\ln x)^2+C$이고 $f(1)=C=3$이다.

Step 3. $f(e^4)$ 계산

$f(e^4)=\frac{3}{2}\times 16+3=27$이다.

따라서 정답은 ③이다.

2번이차곡선쌍곡선 주축중

쌍곡선 $3x^2+18x-y^2+2ky+122=0\ (k>0)$의 주축의 길이가 $24$일 때, 상수 $k$의 값은?

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

정답 ④ · 해설

Step 1. 표준형으로 고치기

$3(x+3)^2-27-(y-k)^2+k^2+122=0$이므로 $\frac{(y-k)^2}{k^2+95}-\frac{(x+3)^2}{\frac{k^2+95}{3}}=1$이다.

Step 2. 주축의 길이 이용

주축은 $y$축에 평행하고 길이는 $2\sqrt{k^2+95}=24$이므로 $k^2+95=144$이다.

Step 3. $k$의 값

$k>0$이므로 $k=7$이다.

따라서 정답은 ④이다.

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