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2019 휘문고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

휘문고등학교 2019학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 정적분의 활용 · 부정적분과 정적분 · 미분계수와 도함수

📍 서울 강남구📅 2019 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 20문항 (객관식 15 · 서술형 5)

출제 단원

1번도함수의 활용감소 조건하

함수 $f(x)=-x^3+ax^2-4x+2$가 실수 전체의 집합에서 감소하기 위한 정수 $a$의 개수는?

① $5$

② $6$

③ $7$

④ $8$

⑤ $9$

정답 ③ · 해설

Step 1. 감소 조건

$f'(x)=-3x^2+2ax-4\le0$이 모든 실수 $x$에서 성립해야 한다.

Step 2. 판별식

$3x^2-2ax+4\ge0$이므로 $\frac D4=a^2-12\le0$, $-2\sqrt3\le a\le2\sqrt3$

Step 3. 정수의 개수

$2\sqrt3\approx3.46$이므로 $a=-3,\cdots,3$의 $7$개

따라서 정답은 ③이다.

2번도함수의 활용극대극소중

최고차항의 계수가 2인 삼차함수 $f(x)$가 $x=3$에서 극솟값을 가지고, $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=-36$을 만족시킨다. $f(x)$의 극댓값은?

① $44$

② $48$

③ $52$

④ $56$

⑤ $60$

정답 ① · 해설

Step 1. 극한 조건

극한이 존재하므로 $f(0)=0$이고 $f'(0)=-36$. $f(x)=2x^3+bx^2-36x$

Step 2. 극솟값 조건

$f'(3)=54+6b-36=0$에서 $b=-3$, $f'(x)=6x^2-6x-36=6(x-3)(x+2)$

Step 3. 극댓값

$x=-2$에서 극대이고 $f(-2)=-16-12+72=44$

따라서 정답은 ①이다.

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